Pseudodifferential operators, wireless communications and sampling theorems

Ein Ziel dieser Dissertation ist es, Methoden aus dem Gebiet des regulären Abtastens und der Zeit-Frequenz Analyse zu kombinieren um aktuelle Probleme in der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und deren Anwendungen in der drahtlosen Kommunikation zu untersuchen. Ein weiteres Ziel ist es, eine mathematische Rechtfertigung für Annahmen, die im Zusammenhang mit drahtlosen Kommunikationssystemen gemacht werden, zu liefern. Wir präsentieren Rekonstruktionsformeln für das Symbol des Pseudodifferentialoperators, die eine, beziehungsweise endlich viele, Nebendiagonalen der Kanalmatrix verwenden. Mit Hilfe dieser Rekonstruktionsformeln formulieren wir Unmöglichkeitsresultate. Wir zeigen, dass die Kanalmatrix keine Diagonalmatrix sein kann, wenn das zugrundeliegende Gabor System einen Frame für L^2(R) bildet. Wir zeigen auch, dass, wenn eine oder endlich viele Nebendiagonalen der Kanalmatrix verschwinden, der Kanal konstant Null ist. Wir beweisen auch ein Eindeutigkeitsresultat für Pseudodifferentialoperatoren unter der Annahme, dass das zugrundeliegende Gabor System von der Gauß-Funktion erzeugt wird. Wir betrachten weiters ein diskretes Übertragungsmodell. Wir untersuchen Eigenschaften des diskreten Modells und wie sich Eigenschaften des kontinuierlichen Modells auf das diskrete Modell übertragen. Die wesentliche Erkenntnis dabei ist, dass, wenn die kontinuierliche Kanalmatrix eine bestimmte Bedingung bezüglich Abklingverhalten entlang der Nebendiagonalen erfüllt, dann erfüllt auch die diskrete Kanalmatrix eine analoge Bedingung bezüglich Abklingverhalten entlang der Nebendiagonalen.One objective of this thesis is to combine methods from sampling theory and time-frequency analysis in order to study contemporary problems in the theory of pseudodifferential operators and its applications to wireless communications. Another objective is to provide a rigorous mathematical justification for assumptions which are often made about wireless communication systems. We present reconstruction formulas for the symbol of the pseudodifferential operator that use one or finitely many side diagonals of the channel matrix. We use these reconstruction formulas to derive impossibility results. We prove that the channel matrix cannot be strictly diagonal if the underlying Gabor system is a frame for L^2(R). Furthermore, we prove that if one or finitely many side diagonals of the channel matrix vanish, then the channel is equal to zero. We also prove a uniqueness theorem for pseudodifferential operators assuming that the underlying Gabor system is generated by the Gaussian function. We also consider a discretized transmission model. We investigate properties of the discrete-time model, and how properties of the continuous-time model transfer to the discrete-time model. The main observation in this context is that if the continuous-time channel matrix satisfies a certain off-diagonal decay condition, then the discrete-time channel matrix satisfies an analogous off-diagonal decay condition