La correspondance de Robinson-Schensted pour les tableaux oscillants gauches

AbstractWe introduce an analog of the Robinson-Schensted algorithm for skew oscillating tableaux which generalizes the well-known correspondence for standard tableaux. We show that this new algorithm enjoys some of the same properties as the original. In particular, it is still true that replacing a permutation by its inverse exchanges the two output tableaux. These facts permit us to derive a number of identities involving the number of such tableaux

Osculating Paths and Oscillating Tableaux

The combinatorics of certain osculating lattice paths is studied, and a relationship with oscillating tableaux is obtained. More specifically, the paths being considered have fixed start and end points on respectively the lower and right boundaries of a rectangle in the square lattice, each path can take only unit steps rightwards or upwards, and two different paths are permitted to share lattice points, but not to cross or share lattice edges. Such paths correspond to configurations of the six-vertex model of statistical mechanics with appropriate boundary conditions, and they include cases which correspond to alternating sign matrices and various subclasses thereof. Referring to points of the rectangle through which no or two paths pass as vacancies or osculations respectively, the case of primary interest is tuples of paths with a fixed number $l$ of vacancies and osculations. It is then shown that there exist natural bijections which map each such path tuple $P$ to a pair $(t,\eta)$, where $\eta$ is an oscillating tableau of length $l$ (i.e., a sequence of $l+1$ partitions, starting with the empty partition, in which the Young diagrams of successive partitions differ by a single square), and $t$ is a certain, compatible sequence of $l$ weakly increasing positive integers. Furthermore, each vacancy or osculation of $P$ corresponds to a partition in $\eta$ whose Young diagram is obtained from that of its predecessor by respectively the addition or deletion of a square. These bijections lead to enumeration formulae for osculating paths involving sums over oscillating tableaux.Comment: 65 pages; expanded versio

Enumeration of Standard Young Tableaux

A survey paper, to appear as a chapter in a forthcoming Handbook on Enumeration.Comment: 65 pages, small correction

Yamanouchisation

Dans ce travail, nous nous intéressons dans la première partie, constituée de cinq chapitres, aux mots de Yamanouchi et dans la deuxième partie, constituée d'un seul chapitre, aux permutations connexes et aux hypercartes pointées. Dans le premier chapitre, nous donnerons un résumé des résultats connus et utilisés dans cette thèse. Dans le chapitre 2, nous généraliserons l'expression donnant read(t) et row(t) pour t un tableau de Young standard aux tableaux gauches standards où read(t) et row(t) sont deux mots associés au tableau t. Nous donnerons une interprétation géométrique pour les standardisations à gauche et à droite d'un mot quelconque. Ensuite, nous utiliserons les arrangements de van Leeuwen pour donner une preuve naturelle à tous les résultats de ce chapitre. Nous définirons les paires de mots de Yamanouchi indécomposables ct nous montrerons qu'elles sont en bijection avec les permutations connexes. Dans le chapitre 3, nous élaborerons des algorithmes sur les mots de Yamanouchi qui sont en bijection avec les tableaux de Young standards. Ces algorithmes simileront les algorithmes connus sur les tableaux à savoir : la transposition, les glissements du jeu taquin de Schützenberger, l'évacuation et la correspondance de Schensted. Dans le chapitre 4, nous élaborerons un algorithme de redressement d'un mot qui n'est pas un mot de Yamanouchi. Cet algorithme similera l'algorithme connu de redressement d'un tableau gauche standard en un tableau de Young standard par une suite de glissements du jeu de taquin de Schützenberger. Nous montrerons que le mot de Yamanouchi obtenu par cet algorithme est identique au mot de Yamanouchi obtenu par un algorithme de Robinson. Nous généraliserons le résultat de van Leeuwen donnant le lien entre la correspondance de Robinson, entre les permutations et les paires de mots de Yamanouchi, et celle de Schensted, entre les permutations et les paires de tableaux de Young standards, des permutations aux mots arbitraires. Nous utiliserons le résultat obtenu pour donner une réponse à une question posée par Thomas. Nous utiliserons l'algorithme de Robinson pour donner une expression à l'évacué d'un mot de Yamanouchi. Nous utiliserons l'algorithme de redressement pour donner une nouvelle formule à la correspondance de Schensted. Dans le chapitre 5, nous poserons une nouvelle conjecture ayant un lien étroit avec une conjecture de Schützenberger qui concerne son opération d'évacuation d'un tableau de Young standard et avec la correspondance de Schensted. Nous montrerons que cette nouvelle conjecture implique celle de Schützenberger. Nous donnerons une solution pour cette nouvelle conjecture dans le cas particulier des tableaux ayant seulement deux lignes. Dans le dernier chapitre, nous utiliserons les formules de Dumont et Kreweras, qui ont étudié une famille particulière de fractions continues liée à la série hypergéométrique, pour donner une nouvelle preuve aux formules donnant les permutations connexes selon leur nombre et aussi selon leur nombre de cycles. Nous établirons deux nouvelles formules pour les permutations connexes. Nous montrerons que le résultat de Sillke et celui de Dumont et Kreweras sont équivalents ensuite nous généraliserons chacun des deux résultats en passant au type cyclique au lieu du nombre de cycles. Nous généraliserons une formule donnée par Cori qui concerne les hypercartes étiquetées à n points. Nous donnons une expression à chacune des deux séries formelles donnant le nombre des permutations selon leur type cyclique et aussi le nombre des permutations connexes selon leur type cyclique. Finalement, nous donnerons le nombre de sous-groupes normaux d'indice n dans le groupe libre à deux générateurs pour n un entier premier. \ud ______________________________________________________________________________ \ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Tableaux de Young standards, tableaux gauches standards, mots de Yamanouchi, standardisation à gauche et à droite, transposition, glissements du jeu taquin de Schützenberger, évacuation, redressement d'un tableau gauche standard, correspondance de Schensted, correspondance de Robinson, relations de Knuth, monoïde palxique, permutations connexes, hypercartes pointées, sous-groupes du groupe libre à deux générateurs