Kommunikationsminimale Algorithmen zur Lösung großer dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme auf massiv-parallelen Systemen

Die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen kann auf die Lösung dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme zurückgeführt werden, deren Größe den Einsatz von massiv-parallelen Systemen erfordert. Für diese Problemstellung sind iterative Verfahren geeignet, in denen die Koeffizientenmatrix ausschließlich zur Berechnung von Matrix-Vektor-Produkten verwendet wird. In dieser Verfahrensklasse werden Krylov-Teilraumverfahren entworfen, die auf einem Parallelrechner mit verteiltem Speicher nur einen globalen Synchronisationspunkt in jedem Iterationsschritt besitzen. In diesem Zusammenhang wird eine Variante des Verfahrens der quasi-minimalen Residuen entwickelt, dessen Minimierungsproblem darüber hinaus in allen lp-Normen rekursiv gelöst werden kann. Auf diese Weise wird eine neue Klasse der quasi-lp-minimalen Verfahren eingeführt.Bei der Implementierung iterativer Verfahren auf parallelen Systemen mit verteiltem Speicher ist die Parallelisierung des Matrix-Vektor-Produktes die aufwendigste Operation. Hierzu werden sowohl die Einträge der Matrix als auch die Komponenten der Vektoren auf die einzelnen Prozessoren verteilt. Der Datenaustausch, der bei der parallelen Berechnung dieses Produktes erforderlich ist, induziert ein für das iterative Verfahren charakteristisches Kommunikationsschema, das in jedem Iterationsschritt des Verfahrens benutzt wird. Es werden Techniken zur Beschleunigung iterativer Verfahren entwickelt, bei denen keine zusätzlichen Kommunikationskosten entstehen sollen. Dazu wird ein Modell beschrieben, in dem das lineare Gleichungssystem um die Variablen erweitert wird, die für den erforderlichen Datenaustausch auf einem Parallelrechner mit verteiltem Speicher benötigt werden. So wird es möglich, die zusätzlichen Variablen zur Konvergenzbeschleunigung des iterativen Verfahrens einzusetzen und gleichzeitig das Kommunikationsschema zu berücksichtigen, wodurch weitere Kommunikationskosten vermieden werden. Auf diese Weise werden zunächst bei Gebietszerlegungsmethoden Beschleunigungstechniken beschrieben, die anschließend auf iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme übertragen werden. Die daraus resultierenden Methoden können als Vorkonditionierer in den dargestellten Krylov-Teilraumverfahren eingesetzt werden. Das Verhalten der entwickelten Algorithmen wird abschließend an Modellproblemen auf dem massiv-parallelen Rechner Intel Paragon XP/S 10 demonstriert