Notions of Galois connections for Bilattices

Τα διπλέγματα (bilattices) είναι αλγεβρικές δομές προερχόμενες από τα πεδία της αναπαράστασης γνώσης και της μη μονοτονικής λογικής· αποτελούνται από ένα σύνολο εφοδιασμένο με δύο πλέγματα (lattices), όπου το ένα μοντελοποιεί το βαθμό αλήθειας και το δεύτερο την ποσότητα πληροφορίας. Οι αντιστοιχίες Galois είναι πολύ χρήσιμες στα μαθηματικά, διότι αποτελούν μία ενοποιητική αφαίρεση διάφορων αντιστοιχιών μεταξύ διατεταγμένων συνόλων, καθώς και διότι σχετίζονται στενά με τους τελεστές κλειστότητας. Σε αυτή την εργασία, εισάγουμε κάποιες έννοιες δι-αντιστοιχιών Galois, που αποσκοπούν στο να αποτελέσουν το ανάλογο των αντιστοιχιών Galois για διπλέγματα. Η πρώτη διάκριση που κάνουμε είναι ανάμεσα σε διαντιστοιχίες Galois μονής και διπλής κατεύθυνσης. Οι διαντιστοιχίες διπλής κατεύθυνσης αποτελούνται από ένα ζεύγος (συμβατών μεταξύ τους) αντιστοιχιών Galois ανάμεσα στις διατάξεις αλήθειας και πληροφορίας, ενώ οι διαντιστοιχίες μονής κατεύθυνσης είναι αντιστοιχίες Galois εφοδιασμένες με επιπλέον ιδιότητες που επιχειρούν να συλλάβουν τη διπλεγματική δομή. Μια περαιτέρω διάκριση γίνεται μεταξύ συνήθων και ισχυρών διαντιστοιχιών Galois· στις πρώτες, οι συναρτήσεις που παίρνουν μέρος έχουν ισόμορφες εικόνες ως διατάξεις, ενώ στις δεύτερες οι εικόνες είναι ισόμορφα διπλέγματα. Εξετάζουμε τα τέσσερα είδη διαντιστοιχιών Galois που προκύπτον από τις παραπάνω διχοτομήσεις, τόσο σε διπλέγματα με τελεστές άρνησης όσο και σε διπλέγματα χωρίς τέτοιους τελεστές. Διερευνούμε την γενικευσιμότητα των κομψών ιδιοτήτων των αντιστοιχιών Galois (συνθεσιμότητα, αντιστρεψιμότητα, διατήρηση άνω και κάτω φραγμάτων κλπ), καθώς και την συμπεριφορά των εικόνων όσον αφορά ενδιαφέρουσες ιδιότητες των διπλεγμάτων. Τέλος, αναφερόμαστε στους αντίστοιχους τελεστές κλειστότητας που προκύπτουν από τις διαντιστοιχίες και κάνουμε μια νύξη του πώς οι έννοιες που παρουσιάζουμε μπορούν να γενικευτούν σε σύνολα εφοδιασμένα με περισσότερες από δύο διατάξεις.Bilattices are algebraic structures, stemming from the research on knowledge representation and non-monotonic reasoning; they comprise a set equipped with two lattice orders, one modelling degree of truth and one modelling amount of information. Galois connections are very useful throughout mathematics, providing a unifying abstraction for various correspondences between ordered sets, and being in close correspondence with closure operators. We introduce notions of Galois biconnections, intended to be the bilattice analogue of classical Galois connections between lattices. The first distinction we make is between bidirectional and unidirectional Galois biconnections. A bidirectional Galois biconnection is a (compatible) pair of Galois connections between the truth orderings and the knowledge orderings of bilattices, while a unidirectional Galois biconnection is actually a Galois connection equipped with extra properties that seek to capture the bilattice structure. A further distinction is between regular Galois biconnections, which induce order-isomorphic images of the maps, strong Galois biconnections, which furnish bilattice-isomorphic images. We investigate all four species of Galois biconnections on pre-bilattices and on bilattices with negation and conflation. We examine both the survival of elegant properties of Galois connections (composability, invertibility, preservation of joins and meets, etc.) and the preservation of interesting bilattice properties (distributivity, boundedness, interlacing) for the images of the bilattices under the Galois biconnection. Finally, we discuss the naturally emerging biclosure operators on bilattices and hint on the generalisation of these concepts to sets equipped with more than two lattices