Application of K\"ahler manifold to signal processing and Bayesian inference

We review the information geometry of linear systems and its application to Bayesian inference, and the simplification available in the K\"ahler manifold case. We find conditions for the information geometry of linear systems to be K\"ahler, and the relation of the K\"ahler potential to information geometric quantities such as $\alpha$-divergence, information distance and the dual $\alpha$-connection structure. The K\"ahler structure simplifies the calculation of the metric tensor, connection, Ricci tensor and scalar curvature, and the $\alpha$-generalization of the geometric objects. The Laplace--Beltrami operator is also simplified in the K\"ahler geometry. One of the goals in information geometry is the construction of Bayesian priors outperforming the Jeffreys prior, which we use to demonstrate the utility of the K\"ahler structure.Comment: 8 pages, submitted to the Proceedings of MaxEnt 1

Etude et extension des flots de ricci, kähler-ricci et calabi dans le cadre du traitement de l'image et de la géométrie de l'information

La théorie des flots géométriques [1] est au coeur de plusieurs disciplines fondamentales des mathématiques (géométrie différentielle et algébrique, analyse complexe & globale, EDP) et de la physique mathématique (calcul des variations, relativité générale, variété d'Einstein, théorie des cordes), mais elle repose avant tout sur le socle de la géométrie Riemannienne dont M.Berger dresse le panorama dans un ouvrage récent [5], son extension à des variétés complexes, la géométrie d'Erich Kähler [4,6], dont la vitalité est vantée par J.P. Bourguignon dans [7] et la théorie des surfaces minimales dont la richesse est synthétisée par F. Hélein dans la postface à l'ouvrage [9]. Le présent article souhaite initier une réflexion sur l'utilisation des flots géométriques intrinsèques, tel le flot de Ricci en traitement d'image pour élaborer de nouveaux opérateurs non-linéaires de filtrages anisotropes, et par le biais de la géométrisation de la théorie de l'information par Chentsov, introduire les flots de Kähler-Ricci et de Calabi pour approfondir la notion de noyaux de diffusion de l'information [3]

Notes in Pure Mathematics & Mathematical Structures in Physics

These Notes deal with various areas of mathematics, and seek reciprocal combinations, explore mutual relations, ranging from abstract objects to problems in physics.Comment: Small improvements and addition