On the Link between Gaussian Homotopy Continuation and Convex Envelopes

Abstract. The continuation method is a popular heuristic in computer vision for nonconvex optimization. The idea is to start from a simpli-fied problem and gradually deform it to the actual task while tracking the solution. It was first used in computer vision under the name of graduated nonconvexity. Since then, it has been utilized explicitly or im-plicitly in various applications. In fact, state-of-the-art optical flow and shape estimation rely on a form of continuation. Despite its empirical success, there is little theoretical understanding of this method. This work provides some novel insights into this technique. Specifically, there are many ways to choose the initial problem and many ways to progres-sively deform it to the original task. However, here we show that when this process is constructed by Gaussian smoothing, it is optimal in a specific sense. In fact, we prove that Gaussian smoothing emerges from the best affine approximation to Vese’s nonlinear PDE. The latter PDE evolves any function to its convex envelope, hence providing the optimal convexification

Bestimmung des optischen Flusses mit bilateralen Daten- und Glattheitstermen

Die folgende Arbeit beschäftigt sich mit Variationsansätzen zur Berechnung des optischen Flusses. Dazu wird ein bereits bestehendes Verfahren, das Verfahren von Zimmer et al., mit einem Bilateralfilter erweitert, welcher die optischen Flusskanten verbessern soll. Dazu werden vier neue Variationsansätze vorgestellt, in denen sowohl der Daten- als auch der Glattheitsterm bilaterale Anteile enthält. Die Euler-Lagrange-Gleichungen der jeweiligen Energiefunktionale werden über eine Multiskalenhierachie (Warping), Linearisierung und Anwendung der Lagged-Nonlinearity-Methode mit Hilfe des SOR-Verfahrens berechnet. Die Auswirkungen der bilateralen Terme auf den optischen Fluss werden in zahlreichen Testreihen untersucht und dessen Vor- und Nachteile erläutert. Nach mehreren Testreihen konnte aufgezeigt werden, dass die bilateralen Daten- und Glattheitsterme die Kanten der Flussfelder deutlich verbessern, wodurch die Fehlerwerte des AAE und des AEE in allen getesteten Sequenzen sinken. In einigen Sequenzen entstand jedoch ein unerwünschtes Verhalten bei Variation der a-Werte: Bei kleinen Änderungen von a änderte sich das Flussbild zum Teil sehr stark. Hier besteht unter anderem ein Zusammenhang mit der Multiskalenhierachie (Warping), in der auch die Bildinformationen zur Gewichtung der bilateralen Terme aus groben Auflösungsstufen verwendet werden. Ein solch sensitives Verhalten konnte durch die Skalierung bestimmter Einstellungsparameter für jede Auflösungsstufe und durch Anpassung der maximalen Warping-Tiefe behoben werden. Wie auch bei anderen bild- und flussgetriebenen Glattheitstermen sind an strukturierten Flächen weiterhin Artefakte zu erkennen. Neben dem bilateralen Glattheitsterm konnten auch die Erweiterung der Variationsansätze mit bilateralen Datentermen das optische Flussfeld verbessern. Insgesamt konnte durch den Einsatz von bilateralen Termen das optische Flussfeld für die AAE- und die AEE-Werte um durchschnittlich mehr als 20 Prozent gesenkt und somit das Verfahren von Zimmer et al. verbessert werden