A note on Thue games

In this work we improve on a result from [1]. In particular, we investigate the situation where a word is constructed jointly by two players who alternately append letters to the end of an existing word. One of the players (Ann) tries to avoid (non-trivial) repetitions, while the other one (Ben) tries to enforce them. We show a construction that is closer to the lower bound showed in [2] using entropy compression, and building on the probabilistic arguments based on a version of the Lov´asz Local Lemma from [3]. We provide an explicit strategy for Ann to avoid (non-trivial) repetitions over a 7-letter alphabet

Różnorodne oblicza ciągów bez powtórzeń

Słynne twierdzenia Thuego zapewniają o istnieniu dowolnie długich słów bez kwadratów nad alfabetem trzyliterowym oraz dowolnie długich slow bez nakładek nad alfabetem dwuliterowym. Rozwalamy dwie konsekwencje jego badań: gry bez powtórzeń oraz bezkwadratowe kolorowania układów linii prostych. Większa cześć pracy jest poświęcona wariantowi rezultatu Thuego wywodzącemu się z teorii gier, gdzie słowo wynikowe jest konstruowane wspólnie przez dwoje graczy, którzy naprzemiennie dołączają litery na koniec istniejącego słowa. Jeden z graczy (Ania) dba o unikanie predefiniowanych powtórzeń, kiedy drugi z nich (Benek) próbuje je wymusić. Naszym celem jest charakteryzacja strategii wygrywających dla Ani zależnie od wielkości używanego alfabetu i rodzaju powtórzeń. W szczególności dostarczamy formalne algorytmy do unikania: nietrywialnych kwadratów nad alfabetem ośmioliterowym, nakładek nad alfabetem czteroliterowym oraz piątych potęg nad alfabetem binarnym. W pozostałej części pracy studiujemy następujące geometryczne aspekty zagadnienia Thuego. Mając dany zbiór L prostych na płaszczyźnie i zbiór P wszystkich punktów przecięcia prostych z L, jaka jest najmniejsza liczba kolorów potrzebna do pokolorowania P tak, że każda prosta w L jest bezkwadratowa? Jaka jest najmniejsza liczba kolorów potrzebna do pokolorowania płaszczyzny tak, że każda ścieżka grafu o krawędziach długości jednostkowej składającego się ze współliniowych punktów jest bezkwadratowa? Dowodzimy, ze ograniczenia górne na te liczby wynoszą odpowiednio: 405 oraz 36.The famous Thue theorems assert that there exist arbitrarily long words without squares over a 3-letter alphabet and arbitrarily long words without overlaps over a 2-letter alphabet. We consider two consequences of his researches: nonrepetitive games and squarefree colourings of line arrangements. The bigger p a rt of the thesis is devoted to a game-theoretic variant of Thue result, where a word is constructed jointly by two players who alternately append letters to the end of an existing word. One of the players (Ann) takes care of avoiding predefined repetitions, while the other one (Ben) tries to force them. Our aim is to characterize the winning strategies for Ann dependent on the size of the alphabet and the kind of the repetitions. In particular, we provide explicit algorithms for avoiding: non-trivial squares over an 8-letter alphabet, overlaps over a 4-letter alphabet, and 5th powers over a binary alphabet. In the remaining p a rt of the thesis we study the following geometric aspects of Thue problem. Given a set L of lines in the plane and a set P of all intersection points of lines in L, what is the least number of colours needed to colour P so that every line in L is squarefree? What is the least number of colours needed to colour the plane so that every p a th of the unit distance graph whose vertices are colinear is squarefree? We prove that upper bounds for these numbers are respectively: 405 and 36