Symmetries of Differrential equations and Applications in Relativistic Physics

Σε αυτή την εργασία μελετάμε τους μονοπαραμετρικούς μετασχηματισμούς κάτω από τους οποίους οι διαφορικές εξισώσεις είναι αναλλοίωτες. Ειδικότερα μελετάμε τις σημειακές συμμετρίες Lie και Noether διαφορικών εξισώσεων τάξεως. Αναπτύσσουμε μια γεωμετρική μέθοδο για τον υπολογισμό των συμμετριών η οποία συνδέει τις σημειακές συμμετρίες των διαφορικών εξισώσεων με τις συμμετρίες του χώρου που πραγματοποιείται η κίνηση. Η γεωμετρική μέθοδος εφαρμόζεται σε διάφορα προβλήματα όπως: η κατηγοριοποίηση των συμμετριών Νευτώνειων συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων, η γενίκευση του συστήματος Kepler-Ermakov σε καμπύλους χώρους, η σύνδεση των συμμετριών ανάμεσα σε κλασσικά και κβαντικά συστήματα και η αναζήτηση Τύπου ΙΙ κρυφών συμμετριών στην κυματική εξίσωση και στην εξίσωση διάδοσης θερμότητας σε καμπύλους χώρους. Τέλος, η γεωμετρική μέθοδος εφαρμόστηκε σαν γεωμετρικό κριτήριο για την επιλογή διάφορων μοντέλων στις εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας.In this thesis, we study the one parameter point transformations which leave invariant the differential equations. In particular we study the Lie and the Noether point symmetries of second order differential equations. We establish a new geometric method which relates the point symmetries of the differential equations with the collineations of the underlying manifold where the motion occurs. This geometric method is applied in order the two and three dimensional Newtonian dynamical systems to be classified in relation to the point symmetries; to generalize the Newtonian Kepler-Ermakov system in Riemannian spaces; to study the symmetries between classical and quantum systems and to investigate the geometric origin of the Type II hidden symmetries for the homogeneous heat equation and for the Laplace equation in Riemannian spaces. At last but not least, we apply this geometric approach in order to determine the dark energy models by use the Noether symmetries as a geometric criterion in modified theories of gravity

Hidden and Not So Hidden Symmetries

Hidden symmetries entered the literature in the late Eighties when it was observed that there could be gain of Lie point symmetry in the reduction of order of an ordinary differential equation. Subsequently the reverse process was also observed. Such symmetries were termed “hidden”. In each case the source of the “new” symmetry was a contact symmetry or a nonlocal symmetry, that is, a symmetry with one or more of the coefficient functions containing an integral. Recent work by Abraham-Shrauner and Govinder (2006) on the reduction of partial differential equations demonstrates that it is possible for these “hidden” symmetries to have a point origin. In this paper we show that the same phenomenon can be observed in the reduction of ordinary differential equations and in a sense loosen the interpretation of hidden symmetries