Strong Stationarity Conditions for Optimal Control of Hybrid Systems

We present necessary and sufficient optimality conditions for finite time optimal control problems for a class of hybrid systems described by linear complementarity models. Although these optimal control problems are difficult in general due to the presence of complementarity constraints, we provide a set of structural assumptions ensuring that the tangent cone of the constraints possesses geometric regularity properties. These imply that the classical Karush-Kuhn-Tucker conditions of nonlinear programming theory are both necessary and sufficient for local optimality, which is not the case for general mathematical programs with complementarity constraints. We also present sufficient conditions for global optimality. We proceed to show that the dynamics of every continuous piecewise affine system can be written as the optimizer of a mathematical program which results in a linear complementarity model satisfying our structural assumptions. Hence, our stationarity results apply to a large class of hybrid systems with piecewise affine dynamics. We present simulation results showing the substantial benefits possible from using a nonlinear programming approach to the optimal control problem with complementarity constraints instead of a more traditional mixed-integer formulation.Comment: 30 pages, 4 figure

Propriedades de convergência de um método PQS estabilizado para problemas matemáticos com condições de equilíbrio

Orientador: Prof. Dr. Ademir Alves RibeiroCoorientador: Prof. Dr. José Alberto Ramos FlorTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa : Curitiba, 29/01/2019Inclui referênciasResumo: Problemas de Otimização com Condições de Equilíbrio (MPEC) possuem a particularidade de não satisfazer as condições de qualificação usuais para problemas de otimização não linear. Isto representa uma dificuldade ao tentar resolver problemas MPEC com estes métodos. Recentemente, considerando a condição de qualificação MPEC-LICQ, uma adaptação para problemas MPEC da condição de qualificação de independência linear (LICQ) usual, Izmailov, Solodov e Uskov provaram que métodos baseados em Lagrangiano Aumentado de primeira ordem, convergem a pontos C-estacionários, que são mais fracos que pontos KKT. Posteriormente Andreani, Secchin e Silva melhoraram o resultado, mostrando que quando se consideram métodos baseados em Lagrangiano Aumentado de segunda ordem pode-se garantir convergência a pontos pelo menos M-estacionários, condição mais forte que C-estacionariedade, porém também mais fraca que KKT. Além disso mostraram também que considerando a condição MPECRCPLD, mais fraca que MPEC-LICQ, e que certa sequência dos multiplicadores é limitada tem-se convergência a pontos S-estacionários, que são equivalentes a KKT. Neste trabalho mostramos que estes resultados não são exclusivos do método de Lagrangiano Aumentado. Apresentamos um método baseado em PQS estabilizada de segunda ordem que pode ser aplicado a problemas MPEC, obtendo resultados equivalentes. Assim, mostramos que quando se considera MPEC-LICQ, o método PQS estabilizado também garante convergência a pontos M-estacionérios. Além disso mostramos que considerando MPEC-RCPLD e uma propriedade de limitação vinculada ao multiplicador da restrição de complementaridade também temos convergência a pontos S-estacionários. Testes numéricos são feitos para validar os resultados teóricos. Palavras-chave: Problemas de Otimização com Condições de Equilíbrio. Programação não linear. Otimização com restrições. Programação Quadrática Sequencial Estabilizada. M-estacionariedade.Abstract: Mathematical Programs with Equilibrium Constraints (MPEC) have the particularity do not satisfy the usual constraint qualifications for standard nonlinear optimization. This represents a difficulty in attempting to solve MPEC problems with the usual nonlinear optimization methods. Recently, considering the MPEC-LICQ constraint qualification, an adaptation to MPEC problems of the usual linear independence constraint qualification (LICQ), Izmailov, Solodov and Uskov proved that first order augmented Lagrangian methods converge to C-stationary points, which are weaker than KKT points. Later on Andreani, Secchin and Silva improved this result, showing that when considering second order augmented Lagrangian methods, it can be guaranteed convergence to at least M-stationary points, which are stronger than C-stationary, but still weaker than KKT. In addition, they also showed that considering the MPEC-RCPLD constraint qualification, which is weaker than MPEC-LICQ, and assuming that a certain multiplier sequence is bounded, it can be proved the convergence to S-stationary points, which are equivalent to KKT. In this work we show that these results are not exclusive of the Augmented Lagrangian method. We provide a method based on second order stabilized Sequential Quadratic Programming, which can be applied to MPEC problems, achieving equivalent results. Thus we show that when MPEC-LICQ is considered, the stabilized SQP method also guarantees convergence to M-stationary points. Moreover, we show that considering MPEC-RCPLD and a boundedness property related to the complementarity constraint multiplier, the method also has convergence to S-stationary points. Numerical tests were performed to validate the theoretical results. Keywords: Mathematical Programs with Equilibrium Constraints. Nonlinear programming. Constrained optimization. stabilized Sequentia