Denoising and enhancement of digital images : variational methods, integrodifferential equations, and wavelets

The topics of this thesis are methods for denoising, enhancement, and simplification of digital image data. Special emphasis lies on the relations and structural similarities between several classes of methods which are motivated from different contexts. In particular, one can distinguish the methods treated in this thesis in three classes: For variational approaches and partial differential equations, the notion of the derivative is the tool of choice to model regularity of the data and the desired result. A general framework for such approaches is proposed that involve all partial derivatives of a prescribed order and experimentally are capable of leading to piecewise polynomial approximations of the given data. The second class of methods uses wavelets to represent the data which makes it possible to understand the filtering as very simple pointwise application of a nonlinear function. To view these wavelets as derivatives of smoothing kernels is the basis for relating these methods to integrodifferential equations which are investigated here. In the third case, values of the image in a neighbourhood are averaged where the weights of this averaging can be adapted respecting different criteria. By refinement of the pixel grid and transfer to scaling limits, connections to partial differential equations become visible here, too. They are described in the framework explained before. Numerical aspects of the simplification of images are presented with respect to the NDS energy function, a unifying approach that allows to model many of the aforementioned methods. The behaviour of the filtering methods is documented with numerical examples.Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Verfahren zum Entrauschen, qualitativen Verbessern und Vereinfachen digitaler Bilddaten. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf den Beziehungen und der strukturellen Ähnlichkeit zwischen unterschiedlich motivierten Verfahrensklassen. Insbesondere lassen sich die hier behandelten Methoden in drei Klassen einordnen: Bei den Variationsansätzen und partiellen Differentialgleichungen steht der Begriff der Ableitung im Mittelpunkt, um Regularität der Daten und des gewünschten Resultats zu modellieren. Hier wird ein einheitlicher Rahmen für solche Ansätze angegeben, die alle partiellen Ableitungen einer vorgegebenen Ordnung involvieren und experimentell auf stückweise polynomielle Approximationen der gegebenen Daten führen können. Die zweite Klasse von Methoden nutzt Wavelets zur Repräsentation von Daten, mit deren Hilfe sich Filterung als sehr einfache punktweise Anwendung einer nichtlinearen Funktion verstehen lässt. Diese Wavelets als Ableitungen von Glättungskernen aufzufassen bildet die Grundlage für die hier untersuchte Verbindung dieser Verfahren zu Integrodifferentialgleichungen. Im dritten Fall werden Werte des Bildes in einer Nachbarschaft gemittelt, wobei die Gewichtung bei dieser Mittelung adaptiv nach verschiedenen Kriterien angepasst werden kann. Durch Verfeinern des Pixelgitters und Übergang zu Skalierungslimites werden auch hier Verbindungen zu partiellen Differentialgleichungen sichtbar, die in den vorher dargestellten Rahmen eingeordnet werden. Numerische Aspekte beim Vereinfachen von Bildern werden anhand der NDS-Energiefunktion dargestellt, eines einheitlichen Ansatzes, mit dessen Hilfe sich viele der vorgenannten Methoden realisieren lassen. Das Verhalten der einzelnen Filtermethoden wird dabei jeweils durch numerische Beispiele dokumentiert

Nonlocal smoothing and adaptive morphology for scalar- and matrix-valued images

In this work we deal with two classic degradation processes in image analysis, namely noise contamination and incomplete data. Standard greyscale and colour photographs as well as matrix-valued images, e.g. diffusion-tensor magnetic resonance imaging, may be corrupted by Gaussian or impulse noise, and may suffer from missing data. In this thesis we develop novel reconstruction approaches to image smoothing and image completion that are applicable to both scalar- and matrix-valued images. For the image smoothing problem, we propose discrete variational methods consisting of nonlocal data and smoothness constraints that penalise general dissimilarity measures. We obtain edge-preserving filters by the joint use of such measures rich in texture content together with robust non-convex penalisers. For the image completion problem, we introduce adaptive, anisotropic morphological partial differential equations modelling the dilation and erosion processes. They adjust themselves to the local geometry to adaptively fill in missing data, complete broken directional structures and even enhance flow-like patterns in an anisotropic manner. The excellent reconstruction capabilities of the proposed techniques are tested on various synthetic and real-world data sets.In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit zwei klassischen Störungsquellen in der Bildanalyse, nämlich mit Rauschen und unvollständigen Daten. Klassische Grauwert- und Farb-Fotografien wie auch matrixwertige Bilder, zum Beispiel Diffusionstensor-Magnetresonanz-Aufnahmen, können durch Gauß- oder Impulsrauschen gestört werden, oder können durch fehlende Daten gestört sein. In dieser Arbeit entwickeln wir neue Rekonstruktionsverfahren zum zur Bildglättung und zur Bildvervollständigung, die sowohl auf skalar- als auch auf matrixwertige Bilddaten anwendbar sind. Zur Lösung des Bildglättungsproblems schlagen wir diskrete Variationsverfahren vor, die aus nichtlokalen Daten- und Glattheitstermen bestehen und allgemeine auf Bildausschnitten definierte Unähnlichkeitsmaße bestrafen. Kantenerhaltende Filter werden durch die gemeinsame Verwendung solcher Maße in stark texturierten Regionen zusammen mit robusten nichtkonvexen Straffunktionen möglich. Für das Problem der Datenvervollständigung führen wir adaptive anisotrope morphologische partielle Differentialgleichungen ein, die Dilatations- und Erosionsprozesse modellieren. Diese passen sich der lokalen Geometrie an, um adaptiv fehlende Daten aufzufüllen, unterbrochene gerichtet Strukturen zu schließen und sogar flussartige Strukturen anisotrop zu verstärken. Die ausgezeichneten Rekonstruktionseigenschaften der vorgestellten Techniken werden anhand verschiedener synthetischer und realer Datensätze demonstriert

From adaptive averaging to accelerated nonlinear diffusion filtering

Abstract. Weighted averaging filters and nonlinear partial differential equations (PDEs) are two popular concepts for discontinuity-preserving denoising. In this paper we investigate novel relations between these filter classes: We deduce new PDEs as the scaling limit of the spatial step size of discrete weighted averaging methods. In the one-dimensional setting, a simple weighted averaging of both neighbouring pixels leads to a modified Perona-Malik-type PDE with an additional acceleration factor that provides sharper edges. A similar approach in the two-dimensional setting yields PDEs that lack rotation invariance. This explains a typical shortcoming of many averaging filters in 2-D. We propose a modification leading to a novel, anisotropic PDE that is invariant under rotations. By means of the example of the bilateral filter, we show that involving a larger number of neighbouring pixels improves rotational invariance in a natural way and leads to the same PDE formulation. Numerical examples are presented that illustrate the usefulness of these processes.