Oriented Spanners

Given a point set P in the Euclidean plane and a parameter t, we define an oriented t-spanner as an oriented subgraph of the complete bi-directed graph such that for every pair of points, the shortest cycle in G through those points is at most a factor t longer than the shortest oriented cycle in the complete bi-directed graph. We investigate the problem of computing sparse graphs with small oriented dilation. As we can show that minimising oriented dilation for a given number of edges is NP-hard in the plane, we first consider one-dimensional point sets. While obtaining a 1-spanner in this setting is straightforward, already for five points such a spanner has no plane embedding with the leftmost and rightmost point on the outer face. This leads to restricting to oriented graphs with a one-page book embedding on the one-dimensional point set. For this case we present a dynamic program to compute the graph of minimum oriented dilation that runs in ?(n?) time for n points, and a greedy algorithm that computes a 5-spanner in ?(nlog n) time. Expanding these results finally gives us a result for two-dimensional point sets: we prove that for convex point sets the greedy triangulation results in an oriented ?(1)-spanner

Oriented Spanners

Given a point set $P$ in the Euclidean plane and a parameter $t$, we define an \emph{oriented $t$-spanner} as an oriented subgraph of the complete bi-directed graph such that for every pair of points, the shortest cycle in $G$ through those points is at most a factor $t$ longer than the shortest oriented cycle in the complete bi-directed graph. We investigate the problem of computing sparse graphs with small oriented dilation. As we can show that minimising oriented dilation for a given number of edges is NP-hard in the plane, we first consider one-dimensional point sets. While obtaining a $1$-spanner in this setting is straightforward, already for five points such a spanner has no plane embedding with the leftmost and rightmost point on the outer face. This leads to restricting to oriented graphs with a one-page book embedding on the one-dimensional point set. For this case we present a dynamic program to compute the graph of minimum oriented dilation that runs in $O(n^8)$ time for $n$ points, and a greedy algorithm that computes a $5$-spanner in $O(n\log n)$ time. Expanding these results finally gives us a result for two-dimensional point sets: we prove that for convex point sets the greedy triangulation results in an oriented $O(1)$-spanner.Comment: conference version: ESA '2

Geração de malhas para domínios 2,5 dimensionais usando triangulação de delaunay restrita

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, Florianópolis, 2001.Gerar uma malha consiste em discretizar um domínio geométrico em pequenos elementos de forma geométrica simplificada, como triângulos e/ou quadriláteros, em duas dimensões, e tetraedros e/ou hexaedros em três dimensões. Malhas são utilizadas em diversas áreas, como geologia, geografia e cartografia, onde elas fornecem uma representação compacta dos dados do terreno; em computação gráfica, a grande maioria dos objetos são mapeados e imagens; e, em matemática aplicada e computação científica, são essenciais na solução numérica de equações diferenciais parciais, resultantes do modelamento de problemas físicos. Este trabalho concentra-se no desenvolvimento de um gerador de malhas voltadas para esta última aplicação, mas que podem, também, ser empregadas nas outras áreas. Mais especificamente, o interesse está na geração de malhas de triângulos não-estruturadas, através do processo de triangulação de Delaunay, para aplicações na solução de problemas de transferência de calor em superfícies planas tridimensionais. Devido à utilização do método CVFEM (Control Volume based Finite Element Method) para a modelagem numérica, um paralelo entre a Triangulação de Delaunay e Diagramas de Voronoi é delineado, apresentando suas propriedades e aplicaçõe .São estudados os métodos de geração de triangulações de Delaunay para superfícies planas de inversão de aresta, divide-and-conquer e incremental. A estrutura de dados utilizada é a triangular, e o método de refino para garantia de qualidade de malha é baseado no algoritmo de Ruppert. Restrições geométricas são tratadas de forma que a malha gerada obedeça as intersecções e conexões entre diversas superfícies. A contribuição fundamental do presente trabalho está na extensão de métodos de riangulação de Delaunay e de refino de malha bidimensionais para domínios 2,5 dimensionais compostos, isto é múltiplos planos interconectados no espaço tridimensional tratados simultaneamente. Otimização de ângulos internos, tamanho e forma dos elementos através da especificação de parâmetros, conferem ao gerador desenvolvido versatilidade e generalidade

LIPIcs, Volume 274, ESA 2023, Complete Volume

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