Computational Approaches to Lattice Packing and Covering Problems

We describe algorithms which address two classical problems in lattice geometry: the lattice covering and the simultaneous lattice packing-covering problem. Theoretically our algorithms solve the two problems in any fixed dimension d in the sense that they approximate optimal covering lattices and optimal packing-covering lattices within any desired accuracy. Both algorithms involve semidefinite programming and are based on Voronoi's reduction theory for positive definite quadratic forms, which describes all possible Delone triangulations of Z^d. In practice, our implementations reproduce known results in dimensions d <= 5 and in particular solve the two problems in these dimensions. For d = 6 our computations produce new best known covering as well as packing-covering lattices, which are closely related to the lattice (E6)*. For d = 7, 8 our approach leads to new best known covering lattices. Although we use numerical methods, we made some effort to transform numerical evidences into rigorous proofs. We provide rigorous error bounds and prove that some of the new lattices are locally optimal.Comment: (v3) 40 pages, 5 figures, 6 tables, some corrections, accepted in Discrete and Computational Geometry, see also http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~latgeo

A generalization of Voronoi's reduction theory and its application

We consider Voronoi's reduction theory of positive definite quadratic forms which is based on Delone subdivision. We extend it to forms and Delone subdivisions having a prescribed symmetry group. Even more general, the theory is developed for forms which are restricted to a linear subspace in the space of quadratic forms. We apply the new theory to complete the classification of totally real thin algebraic number fields which was recently initiated by Bayer-Fluckiger and Nebe. Moreover, we apply it to construct new best known sphere coverings in dimensions 9,..., 15.Comment: 31 pages, 2 figures, 2 tables, (v4) minor changes, to appear in Duke Math.

Introduction to Louis Michel’s lattice geometry through group action

Group action analysis developed and applied mainly by Louis Michel to the study of N-dimensional periodic lattices is the central subject of the book. Di¬fferent basic mathematical tools currently used for the description of lattice geometry are introduced and illustrated through applications to crystal structures in two- and three-dimensional space, to abstract multi-dimensional lattices and to lattices associated with integrable dynamical systems. Starting from general Delone sets the authors turn to di¬fferent symmetry and topological classifications including explicit construction of orbifolds for two- and three-dimensional point and space groups

Configurations of sublattices and Dirichlet-Voronoi cells of periodic point sets

Ausgehend vom Gitter-Quantisierungs-Problem behandelt die vorliegende Arbeit zwei geometrisch motivierte Fragestellungen. Zunächst wird die Anzahl der ähnlichen Untergitter eines Gitters L, d.h. Untergitter des Gitters L welche durch Anwendung einer Isometrie und Streckung aus L hervorgehen, zu gegebenem Streckfaktor untersucht. Für ganzzahlige Gitter werden diese unter geeigneten Voraussetzungen (z.B. bei geraden unimodularen Gittern) mit maximal total isotropen Untermoduln regulärer quadratischer Moduln über Restklassenringen der ganzen Zahlen in Bijektion gesetzt. Es wird eine Klassifikation dieser eben genannten Untermoduln, sogar über beliebigen endlichen Ringen, erreicht. Für endliche Hauptidealringe wird diese Klassifikation zur Bestimmung der Anzahlen maximal total isotroper Untergitter benutzt, insbesondere liefert dies in gewissen Fällen die Anzahlen ähnlicher Untergitter ganzzahliger Gitter. Als wichtiges Beispiel dient die Bestimmung der Anzahlen ähnlicher Untergitter des Wurzelgitters E_8. Im Weiteren ermöglicht Voronoi’s zweite Reduktionstheorie, welche quadratische Formen nach ihrer Delone-Zerlegung auf einer zuvor fixierten Punktmenge partitioniert, eine stückweise explizite Berechnung der bekannten Integral-Formel für die Quantisierungs-Konstante, welche auf einen Quotienten eines Polynoms, in den Einträgen einer symmetrischen Matrix, mit einer skalierten Potenz der Determinante dieser Matrix führt. Dies erlaubt es das Quantisierungs-Problem als endliche Sammlung polynomieller Optimierungsprobleme aufzufassen und mit dieser, zumindest stückweise, expliziten Darstellung wird in Dimension 4 schließlich für einige prominente Gitter geklärt ob diese lokale Minima für das Gitter-Quantisierungs-Problem sind