Extensión de algunos resultados de funciones analíticas a funciones armónicas

En el estudio del conjunto de los números complejos y las funciones definidas en el, se define la diferenciabilidad en el sentido complejo de manera similar a la diferenciabilidad conocida en R. Las funciones que son diferenciables en este sentido sobre un dominio las llamaremos funciones analíticas en , denotemos este conjunto por H( ). Además, dado que una función f : C ! C puede ser escrita como f = u + iv con u y v también definidas en , diremos que f es armónica en si las funciones u y v satisfacen las ecuaciones de Laplace, es decir, u = @2u @x2 + @2u @y2 = 0 y v = @2v @x2 + @2v @y2 = 0. Notaremos el conjunto de funciones armónicas en por A( ). Basados en estudios previos podemos afirmar que H( ) A( ), en este punto nos surge la pregunta ¿Se pueden extender resultados ya existentes para H( ) a A( )? La respuesta es afirmativa en algunos casos y en este trabajo mostraremos una parte de ellos como el Principio del argumento y definiremos las clases SH y S0H las cuales son analógas en el caso armónico a una clase bien conocida en el caso analático S.Resumen...........vAbstract................viIntroducción..........................................................................11. Preliminares............................................................................51.1. Funciones Analíticas........................................................51.1.1. Representación en series de una función analítica ...........................................................................................................71.1.2. Teorema del residuo................................................81.1.3. Teorema del mapeo de Riemann y Teorema de extensión de Caratheodory ...........................................111.2. Funciones Armónicas...................................................121.3. Clases SH y S0H................................................................192. El principio del Argumento para funciones armónicas .............................................................................................................222.1. El Principio del argumento .........................................232.2. El argumento de una función complejo-valuada ..................................................................................................................282.3. Relación entre la variación del argumento y el índice topológico.........................................................................................392.4. El Principio del argumento para funciones armónicas ...................................................................................................................403. Normalidad de la clase SH.................................................423.1. Normalidad de la clase SH.................................................42Bibliografía ...........................................................................................47PregradoMatemático(a