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Extensi贸n de algunos resultados de funciones anal铆ticas a funciones arm贸nicas
En el estudio del conjunto de los n煤meros complejos y las funciones definidas en el,
se define la diferenciabilidad en el sentido complejo de manera similar a la diferenciabilidad
conocida en R. Las funciones que son diferenciables en este sentido sobre
un dominio
las llamaremos funciones anal铆ticas en
, denotemos este conjunto
por H(
). Adem谩s, dado que una funci贸n f :
C ! C puede ser escrita como
f = u + iv con u y v tambi茅n definidas en
, diremos que f es arm贸nica en
si las
funciones u y v satisfacen las ecuaciones de Laplace, es decir, u = @2u
@x2 + @2u
@y2 = 0 y
v = @2v
@x2 + @2v
@y2 = 0. Notaremos el conjunto de funciones arm贸nicas en
por A(
).
Basados en estudios previos podemos afirmar que H(
) A(
), en este punto nos
surge la pregunta 驴Se pueden extender resultados ya existentes para H(
) a A(
)?
La respuesta es afirmativa en algunos casos y en este trabajo mostraremos una parte
de ellos como el Principio del argumento y definiremos las clases SH y S0H
las cuales
son anal贸gas en el caso arm贸nico a una clase bien conocida en el caso anal谩tico S.Resumen...........vAbstract................viIntroducci贸n..........................................................................11. Preliminares............................................................................51.1. Funciones Anal铆ticas........................................................51.1.1. Representaci贸n en series de una funci贸n anal铆tica
...........................................................................................................71.1.2. Teorema del residuo................................................81.1.3. Teorema del mapeo de Riemann y Teorema de extensi贸n de Caratheodory ...........................................111.2. Funciones Arm贸nicas...................................................121.3. Clases SH y S0H................................................................192. El principio del Argumento para funciones arm贸nicas
.............................................................................................................222.1. El Principio del argumento .........................................232.2. El argumento de una funci贸n complejo-valuada
..................................................................................................................282.3. Relaci贸n entre la variaci贸n del argumento y el 铆ndice topol贸gico.........................................................................................392.4. El Principio del argumento para funciones arm贸nicas ...................................................................................................................403. Normalidad de la clase SH.................................................423.1. Normalidad de la clase SH.................................................42Bibliograf铆a ...........................................................................................47PregradoMatem谩tico(a