Exponential convergence rate of ruin probabilities for level-dependent L\'evy-driven risk processes

We explicitly find the rate of exponential long-term convergence for the ruin probability in a level-dependent L\'evy-driven risk model, as time goes to infinity. Siegmund duality allows to reduce the pro blem to long-term convergence of a reflected jump-diffusion to its stationary distribution, which is handled via Lyapunov functions.Comment: 20 pages, 5 figure

Error bounds for last-column-block-augmented truncations of block-structured Markov chains

This paper discusses the error estimation of the last-column-block-augmented northwest-corner truncation (LC-block-augmented truncation, for short) of block-structured Markov chains (BSMCs) in continuous time. We first derive upper bounds for the absolute difference between the time-averaged functionals of a BSMC and its LC-block-augmented truncation, under the assumption that the BSMC satisfies the general $f$-modulated drift condition. We then establish computable bounds for a special case where the BSMC is exponentially ergodic. To derive such computable bounds for the general case, we propose a method that reduces BSMCs to be exponentially ergodic. We also apply the obtained bounds to level-dependent quasi-birth-and-death processes (LD-QBDs), and discuss the properties of the bounds through the numerical results on an M/M/$s$ retrial queue, which is a representative example of LD-QBDs. Finally, we present computable perturbation bounds for the stationary distribution vectors of BSMCs.Comment: This version has fixed the bugs for the positions of Figures 1 through

Stochastic stability versus localization in chaotic dynamical systems

We prove stochastic stability of chaotic maps for a general class of Markov random perturbations (including singular ones) satisfying some kind of mixing conditions. One of the consequences of this statement is the proof of Ulam's conjecture about the approximation of the dynamics of a chaotic system by a finite state Markov chain. Conditions under which the localization phenomenon (i.e. stabilization of singular invariant measures) takes place are also considered. Our main tools are the so called bounded variation approach combined with the ergodic theorem of Ionescu-Tulcea and Marinescu, and a random walk argument that we apply to prove the absence of ``traps'' under the action of random perturbations.Comment: 27 pages, LaTe

Large deviations of the empirical flow for continuous time Markov chains

We consider a continuous time Markov chain on a countable state space and prove a joint large deviation principle for the empirical measure and the empirical flow, which accounts for the total number of jumps between pairs of states. We give a direct proof using tilting and an indirect one by contraction from the empirical process.Comment: Minor revision, to appear on Annales de l'Institut Henri Poincare (B) Probability and Statistic

Particle systems with locally dependent branching : long-time behaviour, genealogy and critical parameters

We consider the long-time behaviour of spatially extended random populations with locally dependent branching. We treat two classes of models: 1) Systems of continuous-time random walks on the d-dimensional grid with state dependent branching rate. While there are k particles at a given site, a branching event occurs there at rate s(k), and one of the particles is replaced by a random number of offspring (according to a fixed distribution with mean 1 and finite variance). 2) Discrete-time systems of branching random walks in random environment. Given a space-time i.i.d. field of random offspring distributions, all particles act independently, the offspring law of a given particle depending on its position and generation. The mean number of children per individual, averaged over the random environment, equals one The long-time behaviour is determined by the interplay of the motion and the branching mechanism: In the case of recurrent symmetrised individual motion, systems of the second type become locally extinct. We prove a comparison theorem for convex functionals of systems of type one which implies that these systems also become locally extinct in this case, provided that the branching rate function grows at least linearly. Furthermore, the analysis of a caricature model leads to the conjecture that local extinction prevails generically in this case. In the case of transient symmetrised individual motion the picture is more complex: Branching random walks with state dependent branching rate converge towards a non-trivial equilibrium, which preserves the initial intensity, whenever the branching rate function grows subquadratically. Systems of type 1) and systems of type 2) with quadratic branching rate function show very similar behaviour. They converge towards a non-trivial equilibrium if a conditional exponential moment of the collision time of two random walks of an order that reflects the variability in the branching mechanism is finite almost surely. The equilibrium population has finite variance of the local particle number if the corresponding unconditional exponential moment is finite. These results are proved by means of genealogical representations of the locally size-biased population. Furthermore, we compute the threshold values for existence of conditional exponential moments of the collision time of two random walks in terms of the entropy of the transition functions, using tools from large deviations theory. Our results prove in particular that - in contrast to the classical case of independent branching - there is a regime of equilibria with variance of the local number of particles.Wir betrachten das Langzeitverhalten von zufälligen, räumlich ausgebreiteten Populationen mit lokal abhängiger Verzweigung, speziell werden zwei Klassen von Modellen untersucht: 1) Zeitkontinuierliche Systeme von Irrfahrten auf dem d-dimensionalen Gitter mit zustandsabhängiger Verzweigungsrate. Wenn an einem Ort gerade k Teilchen sind, findet dort ein Verzweigungsereignis mit Rate s(k) statt, und eines der Teilchen wird durch eine zufällige Anzahl Nachkommen (gemäß einer vorgegebenen Verteilung mit Mittelwert 1 und endlicher Varianz) ersetzt. 2) Zeitdiskrete Systeme von verzweigenden Irrfahrten in zufälliger Umgebung. Wir betrachten ein Raum-Zeit-Feld von unabhängigen Kinderzahlverteilungen, gegeben dieses Feld verhalten sich alle Teilchen unabhängig, die Verteilung der Anzahl Nachkommen eines Teilchens hängt von seiner Position und seiner Generation ab. Die mittlere Anzahl Nachkommen pro Individuum, gemittelt über die zufällige Umgebung, ist exakt eins. Das Langzeitverhalten wird durch das Zusammenspiel von Bewegungs- und Verzweigungsmechanismus bestimmt: Bei rekurrenter symmetrisierter Individualbewegung sterben Systeme vom zweiten Typ stets aus. Wir beweisen ein Vergleichresultat für konvexe Funktionale von Systemen vom Typ 1, das impliziert, dass auch dort im rekurrenten Fall lokales Aussterben vorherrscht, sofern die Verzweigungsratenfunktion mindestens linear wächst. Darüberhinaus erhärten wir anhand eines Karikaturmodells die Vermutung, dass lokales Aussterben generisch vorliegt. Im Fall transienter symmetrisierter Individualbewegung bietet sich ein reichhaltigeres Bild: Verzweigende Irrfahrten mit zustandsabhängiger Verzweigung konvergieren gegen ein nicht-triviales Gleichgewicht, das die Anfangsintensität erhält, sofern die Verzweigungsratenfunktion subquadratisch wächst. Wir zeigen eine Parallele zwischen Systemen vom Typ 2 und Systemen vom Typ 1 mit quadratischer Verzweigungsratenfunktion. Wenn ein bedingtes exponentielles Moment der Kollisionszeit zweier unabhängiger Irrfahrten von einer Ordnung, die von der Variabilität im Verzweigungsmechanismus abhängt, fast sicher endlich bleibt, so konvergieren die Systeme gegen nichttriviale Gleichgewichte. Die zweiten Momente der lokalen Teilchenanzahlen im Gleichgewicht sind genau dann endlich, wenn auch das entsprechende unbedingte Moment endlich ist. Wir erzielen diese Resultate mittels genealogischer Darstellungen der lokal größenverzerrten Populationen. Darüberhinaus berechnen wir unter Verwendung von Hilfsmitteln aus der Theorie der großen Abweichungen die Schwellwerte für die Existenz der bedingten exponentiellen Momente der Kollisionszeit in Termen der Entropie der Übergangsmatrizen der Irrfahrt. Dies zeigt insbesondere, dass - im Gegensatz zum klassischen Fall unabhängiger Verzweigung - ein Regime von Gleichgewichten mit unendlicher Varianz der lokalen Anzahl existiert