Adaptive vertex-centered finite volume methods for general second-order linear elliptic PDEs

We prove optimal convergence rates for the discretization of a general second-order linear elliptic PDE with an adaptive vertex-centered finite volume scheme. While our prior work Erath and Praetorius [SIAM J. Numer. Anal., 54 (2016), pp. 2228--2255] was restricted to symmetric problems, the present analysis also covers non-symmetric problems and hence the important case of present convection

Adaptivity, error sources and error estimates in finite volume method

Diplomityössä tutkittiin sitä, että miksi virtauslaskennan simulaatiotuloksissa esiintyy diskretisointivirhettä, miten sen suuruutta voidaan arvioida ja kuinka sitä voidaan mahdollisimman tehokkaasti vähentää. Diskretisointivirheiden kertaluokasta saadaan arvioita tutkimalla laskennassa käytettyjä diskretisointimenetelmiä, näiden stabiiliutta ja myös sitä, miten ne reagoivat laskentaverkkojen topologisiin virheisiin. Virtauslaskennassa käytetyssä kontrollitilavuusmenetelmässä pyritään yleensä siihen, että diskretisointivirhe pienenee neliöllisesti laskentaverkkoa tihennettäessä, mutta todellisen diskretisointivirheen tason arvioimiseen tarvitaan kuitenkin jälkikäteisvirhearvio. Parhaimmaksi tavaksi diskretisointivirheen pienentämiseen löydettiin jälkikäteisvirhearviota hyödyntävä h-adaptiivinen algoritmi, jolla voidaan lisätä laskentaverkon resoluutiota sopivissa paikoissa ja näin ollen tulosten virhetaso saadaan jyrkästi putoamaan. Toisena vaihtoehtona työssä pohdittiin tulosten virhetason pienentämistä lisäämällä runsaasti laskentatehoa, mikä mahdollistaa tiheämpien laskentaverkkojen käyttämisen, mutta tätä vaihtoehtoa ei pidetty hyvänä pitkän aikavälin ratkaisuna. Kontrollitilavuusmenetelmän diskretisointivirheestä saadaan kohtuullinen kuva käsittelemällä ratkaistavissa yhtälöissä esiintyvien termien diskretisointia yksi termi kerrallaan. Diffuusiotermien diskretisointi keskeisdifferenssimenetelmällä toisen kertaluvun tarkkuudella on kohtuullisen suoraviivaista, kun laskentaverkon epäortogonaalisuus otetaan huomioon. Sen sijaan toisen kertaluvun konvektiomenetelmien ongelmana on niiden epästabiilius. NVD-viitekehykseen pohjautuva Gamma-menetelmä havaittiin parhaaksi konvektiomenetelmäksi, sillä kyseinen menetelmä tuottaa tuloksia pääasiassa toisen kertaluvun tarkkuudella ja lisää vain minimimäärän numeerista diffuusiota ratkaisuun. Gradienttitermien diskretisoinnissa yleensä jäädään halutusta toisen kertaluvun tarkkuudesta, ellei laskentaverkko ole säännöllinen tai siinä esiintyy vinoumaa. Painotetun pienenimmän neliösumman gradienttimenetelmä yleensä kärsii näistä vähiten ja menetelmä yleensä tuottaa gradientteja ensimmäisen kertaluvun tarkkuudella myös epäsäännöllisissä laskentaverkoissa. Lähdetermien osalta kontrollitilavuusmenetelmä on luonnostaan tarkkuudeltaan toista kertalukua. Tavoiteltu toisen kertaluvun tarkkuus ei menetelmien yhteisvaikutuksesta johtuen aina täyty. Virtauslaskennan numeeristen ratkaisujen virhetasoa tutkittiin erilaisilla kontrollitilavuusmenetelmään johdetuilla jälkikäteisvirhearvioilla, kuten momenttivirhe- ja jäännösvirhemenetelmällä. Virhearvioiden havaittiin antavan hieman toisistaan poikkeavia tuloksia niin käytännössä kuin teoriassa. Realistisissa käyttökohteissa erityisesti jäännösvirhemenetelmän tunnetaan arvioivan diskretisointivirheen suuruutta hyvin. Adaptiivisen algoritmin suorituskyky ei kuitenkaan merkittävästi riippunut valitusta virhearviomenetelmästä ja adaptiivinen algoritmi osoittautui erittäin hyväksi tavaksi vähentää diskretisointivirhettä insinöörisovelluksessa. Diskretisointivirheen tilavuuskeskiarvon pienentämisessä adaptiivisuus on jopa kertaluokkaa parempi kuin perinteinen laskentaverkon mallinnusmetodi, jossa mallinnetaan rajakerrokset tarkasti. Algoritmin toteuttamiseen valittu OpenFOAM v5.0 -virtauslaskentasovellus osoittautui hyväksi kehitysalustaksi adaptiiviselle algoritmille ja algoritmi saatiin toteutettua kohtuullisessa ajassa