The Ptolemy–Alhazen Problem and Spherical Mirror Reflection

An ancient optics problem of Ptolemy, studied later by Alhazen, is discussed. This problem deals with reflection of light in spherical mirrors. Mathematically, this reduces to the solution of a quartic equation, which we solve and analyze using a symbolic computation software. Similar problems have been recently studied in connection with ray-tracing, catadioptric optics, scattering of electromagnetic waves, and mathematical billiards, but we were led to this problem in our study of the so-called triangular ratio metric

Efeito da curvatura terrestre na refletometria GNSS

Conforme relatório do Painel Inter governamental sobre Mudanças Climáticas (IPCC), o nível médio global dos mares está subindo a taxas cada vez maiores em decorrência das mudanças climáticas . Além dos marégrafos e altímetros orbitais , uma alternativa para a mediç ão do nível do mar costeir o é a Refletometria GNSS (GNSS - R) . Trata - se de uma técnica de sensoriamento remoto geodésico baseada nas ondas de rádio continuamente emitidas por satélites GNSS que refletem na superfície da água e chegam à antena receptora . A part ir da comparação entre a onda refletida e a onda que chega diretamente à antena, obtém - se o atraso relativo ou interferométrico, pelo qual é estimada a altura da superfície refletora . Para isso, é necessário supor que a geometria da superfície seja conhecida . No caso de estações GNSS - R terrestres, o modelo de superfície plano é frequentemente adotado , por simplicidade . Contudo, dependendo da configuração de altura da antena receptora e do ângulo de elevação do satélite, o ponto de reflexão pode ocorrer a centenas ou milhares de metros da antena receptora . Então , o modelo plano pode deixar de representar adequadamente a superfície refletora devido à curvatura terrestre , causando eventuais erros sistemáticos na estimativa altimétrica por GNSS - R . Assim, o presente estudo buscou averiguar os limites para os quais o efeito da curvatura terrestre é significativo em estimativas altimétricas do nível do mar por GNSS - R . Para isso, a reflexão foi modelada nas superfícies plana e esférica , sendo a primeira tangente e a segunda osculante ao elipsoide de revolução . Foram desenvolvidos dois tipos de correções altimétricas baseadas nos respectivos métodos de estimação ou inversão altimétrica : a correção de tipo A é aplicada na inversão pelo pseudo - Doppler cruzado; e a de tipo B é aplicada na inversão pelo pseudo - Doppler na esfera. A correção altimétrica de tipo A é aplicável ao caso mais frequente, em que o usuário supõe o modelo plano, apesar das medições em campo seguirem o modelo esférico. Foram realizadas simulações considerando cenários da reflexão com variações no ângulo de elevação (desde zênite até o horizonte esférico , abaixo do horizonte plano) e variação de altura da antena receptora ( de zero a 500 m ) . Foi verificado que o deslocamento do ponto de reflexão , na esfera em relação ao plano, implica em aproximação horizontal e rebaixa mento vertical. Consequentemente , o atraso de propagação interferométrico é incrementado. Os erros altimétricos são maiores na direção de maior altura da antena receptora e menor elevação do satélite , com cenários críticos no horizonte esférico. Considerando um limiar de 1 cm, verificou - se que a correção altimétrica do tipo A é necessária para qualquer elevação de satélite quando a antena receptora tem altura maior que 200 m . Para satélites mais baixos, o limiar é atingido em alturas menores da antena receptora ; por exemplo: 10 m e 1,5°, 30 m e 4,8°, 60 m e 9,9° e 120 m e 21,3°. Abaixo do horizonte plano (ângulos de elevação negativos) , a correção é necessária para qualquer altura.According to the Intergovernmental Panel on Climate Changes (IPCC) report, t he global mean sea level is rising at increasing rates due to climate changes. Besides tide gauges and satellite altimeters, an alternative for coastal sea level measurements is the GNSS Reflectometry (GNSS - R). It is a geodetic remote sensing technique based on radio waves continuously emitted by GNSS satellites that reflects on the water surface and reach the receiving antenna. From the comparison between a reflected and a signal that reaches directly on the antenna, known as relative or interferometric de lay, geophysical parameters of reflector surface can be estimated, such as sea level. The geometry of reflection is modeled by supposing a surface with known geometry. In the case of ground - based GNSS - R stations, the plane surface model is commonly adopted for its simplicity. However, the reflection point can occur at hundred or thousand meters from the receiving antenna , depending on the setup of receiving antenna height and satellite elevation angle. Then, the plane surface model cannot represent properly the reflector surface due to the Earth’s curvature, and eventually, it will introduce a systematic bias in the GNSS - R altimetry estimate. The present work aims to investigate limits which the Earth’s curvature effect is non - negligible for altimetric estimates of GNSS - R sea - level measurements. The reflection signal was modeled on both planar and spherical model, where the former is tangent and the latter is osculating to the ellipsoid of revolution. Was developed two types of altimetry correction based on t he respective altimetric estimate or inversion: the type A is an altimetry correction applied in the crossed pseudo - Doppler inversion; and type B is applied in the spherical pseudo - Doppler inversion. The type A altimetric correction is applied to the most frequent case, in which the user assumes the flat model, despite field measurements following the spherical model. Were simulated scenarios of reflections for varying the elevation angle (from zenith down to the spherical horizon) and receiving antenna hei ght (from zero to 500 m). Were verified that the reflection point displacement on the sphere regarding the plane, implies the horizontal approach and vertical downward. Consequently, the interferometric delay is increased. Were verified that the errors are bigger towards higher antenna heights and lower elevation angles, where the critical scenarios were seen on the spherical horizon. Considering a 1 - cm threshold for altimetry correction was verified that the correction Type A is needed to any satellite ele vation angle when the receiving antenna is 200 m height. For lower elevation angles, the threshold is reached on lower receiving antenna heights, e.g. , 10 m and 1,5°, 30 m and 4,8°, 60 m and 9,9°, and 120 m and 21,3°. Down the planar horizon, the correctio n is needed to any simulated heights