Admissibility in Finitely Generated Quasivarieties

Checking the admissibility of quasiequations in a finitely generated (i.e., generated by a finite set of finite algebras) quasivariety Q amounts to checking validity in a suitable finite free algebra of the quasivariety, and is therefore decidable. However, since free algebras may be large even for small sets of small algebras and very few generators, this naive method for checking admissibility in \Q is not computationally feasible. In this paper, algorithms are introduced that generate a minimal (with respect to a multiset well-ordering on their cardinalities) finite set of algebras such that the validity of a quasiequation in this set corresponds to admissibility of the quasiequation in Q. In particular, structural completeness (validity and admissibility coincide) and almost structural completeness (validity and admissibility coincide for quasiequations with unifiable premises) can be checked. The algorithms are illustrated with a selection of well-known finitely generated quasivarieties, and adapted to handle also admissibility of rules in finite-valued logics

Discovering Implicational Knowledge in Wikidata

Knowledge graphs have recently become the state-of-the-art tool for representing the diverse and complex knowledge of the world. Examples include the proprietary knowledge graphs of companies such as Google, Facebook, IBM, or Microsoft, but also freely available ones such as YAGO, DBpedia, and Wikidata. A distinguishing feature of Wikidata is that the knowledge is collaboratively edited and curated. While this greatly enhances the scope of Wikidata, it also makes it impossible for a single individual to grasp complex connections between properties or understand the global impact of edits in the graph. We apply Formal Concept Analysis to efficiently identify comprehensible implications that are implicitly present in the data. Although the complex structure of data modelling in Wikidata is not amenable to a direct approach, we overcome this limitation by extracting contextual representations of parts of Wikidata in a systematic fashion. We demonstrate the practical feasibility of our approach through several experiments and show that the results may lead to the discovery of interesting implicational knowledge. Besides providing a method for obtaining large real-world data sets for FCA, we sketch potential applications in offering semantic assistance for editing and curating Wikidata

Investigations in Belnap's Logic of Inconsistent and Unknown Information

Nuel Belnap schlug 1977 eine vierwertige Logik vor, die -- im Gegensatz zur klassischen Logik -- die Faehigkeit haben sollte, sowohl mit widerspruechlicher als auch mit fehlender Information umzugehen. Diese Logik hat jedoch den Nachteil, dass sie Saetze der Form 'wenn ..., dann ...' nicht ausdruecken kann. Ausgehend von dieser Beobachtung analysieren wir die beiden nichtklassischen Aspekte, Widerspruechlichkeit und fehlende Information, indem wir eine dreiwertige Logik entwickeln, die mit widerspruechlicher Information umgehen kann und eine Modallogik, die mit fehlender Information umgehen kann. Beide Logiken sind nicht monoton. Wir untersuchen Eigenschaften, wie z.B. Kompaktheit, Entscheidbarkeit, Deduktionstheoreme und Berechnungkomplexitaet dieser Logiken. Es stellt sich heraus, dass die dreiwertige Logik, nicht kompakt und ihre Folgerungsmenge im Allgemeinen nicht rekursiv aufzaehlbar ist. Beschraenkt man sich hingegen auf endliche Formelmengen, so ist die Folgerungsmenge rekursiv entscheidbar, liegt in der Klasse $\Sigma_2^P$ der polynomiellen Zeithierarchie und ist DIFFP-schwer. Wir geben ein auf semantischen Tableaux basierendes, korrektes und vollstaendiges Berechnungsverfahren fuer endliche Praemissenmengen an. Darueberhinaus untersuchen wir Abschwaechungen der Kompaktheitseigenschaft. Die nichtmonotone auf S5-Modellen basierende Modallogik stellt sich als nicht minder komplex heraus. Auch hier untersuchen wir eine sinnvolle Abschwaechung der Kompaktheitseigenschaft. Desweiteren studieren wir den Zusammenhang zu anderen nichtmonotonen Modallogiken wie Moores autoepistemischer Logik (AEL) und McDermotts NML-2. Wir zeigen, dass unsere Logik zwischen AEL und NML-2 liegt. Schliesslich koppeln wir die entworfene Modallogik mit der dreiwertigen Logik. Die dabei enstehende Logik MKT ist eine Erweiterung des nichtmonotonen Fragments von Belnaps Logik. Wir schliessen unsere Betrachtungen mit einem Vergleich von MKT und verschiedenen informationstheoretischen Logiken, wie z.B. Nelsons N und Heytings intuitionistischer Logik ab