Minimization algorithms for incompletely specified logic functions

Various methods of analysis and optimization of logic expressions in the form of Exclusive-Or Sum of Products (ESOP) and Exclusive-or Sum of Complex Terms (ESCT) are presented in this PhD thesis. The functions considered contain don’t care terms, namely they are incompletely specified functions. Their optimization concerns the finding of minimal expressions, by that means expressions with the least possible number of terms. It should be highlighted that the problems of minimizing ESOP and ESCT expressions are by default extremely complex, since they are NP-hard. The existence of don’t care terms complicates even more the finding of exact expressions. Initially, we are interested in the minimization of ESOP expressions. First of all, we propose a heuristic algorithm for the generation and the minimization of such expressions for arbitrary multiple-output incompletely specified logic functions. This algorithm uses functional decomposition and multiple-valued logic and its efficiency is measured using standard benchmark functions. As we can observe from the experimental results, our algorithm presents with better performance compared to previous ones. Afterwards, we propose a method which finds an exact ESOP expression for arbitrary incompletely specified functions of up to 6 variables. To achieve that, we store the weight of all functions of 5 variables in a compressed table. In our approach, we use this table extensively, in order to decrease the execution time. To the best of our knowledge, this is the first algorithm dealing with this problem. Moreover, we present the possibility of using complex terms to generate more compact expressions (which are consisted of fewer terms) than the respective ESOP ones. In this case, not only the AND operation is permitted between two variables, but also any logic function. The produced expressions are the previously mentioned ESCT expressions. Additionally, we examine the problem of decomposition, mapping and minimization of multiple-output logic functions, in the form of ESCT expressions. Initially, a mathematical formulation for single output logic functions is presented, which is extended for multiple-output functions. Furthermore, we propose a naive heuristic algorithm to minimize ESCT expressions for multiple-output incompletely specified functions. This algorithm is an extension of the previous one for ESOP expressions. The experimental results presented indicate both the superiority of our algorithm compared to previous ones for completely specified functions, as well as the exploitation of the presence of don’t care terms achieved. Finally, this PhD thesis presents a quantum algorithm to find exact ESOP or ESCT expressions for arbitrary incompletely specified functions. The proposed algorithm exploits the inherent massive parallelism of quantum circuits, in order to achieve better complexity than the conventional ones. The suggested XOR expressions, such as ESOP and ESCT, might be used to implement an arbitrary logic function in a reversible, or even in a quantum circuit.Στην παρούσα διδακτορική διατριβή εξετάζονται μέθοδοι ανάλυσης και βελτιστοποίησης λογικών εκφράσεων σε μορφή αποκλειστικού-ή αθροίσματος από γινόμενα (Exclusive-Or Sum of Products - ESOP) και αποκλειστικού-ή αθροίσματος από σύνθετους όρους (Exclusive-or Sum of Complex Terms - ESCT). Οι συναρτήσεις που μελετώνται περιέχουν αδιάφορους όρους (don’t cares), πρόκειται δηλαδή για μη πλήρως ορισμένες συναρτήσεις (incompletely specified functions). Η βελτιστοποίησή τους έγκειται στην εύρεση ελάχιστων εκφράσεων, δηλαδή εκφράσεων με όσο το δυνατόν λιγότερους όρους. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα προβλήματα της ελαχιστοποίησης εκφράσεων ESOP και ESCT είναι από τη φύση τους εξαιρετικά δύσκολα, καθώς στη γενική μορφή τους είναι NP-hard. Η ύπαρξη αδιάφορων όρων δυσχεραίνει ακόμα περισσότερο την εύρεση ελάχιστων εκφράσεων. Καταρχήν μας ενδιαφέρει η ελαχιστοποίηση εκφράσεων ESOP. Αρχικά προτείνεται ένας ευριστικός αλγόριθμος για την παραγωγή και την ελαχιστοποίηση τέτοιων εκφράσεων για τυχαίες μη πλήρως ορισμένες λογικές συναρτήσεις πολλών εξόδων. Αυτός ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί αποσύνθεση συναρτήσεων και λογική πολλαπλών τιμών και η αποτελεσματικότητά του μετράται χρησιμοποιώντας συγκεκριμένες μετροσυναρτήσεις (benchmark functions). ΄Οπως μπορούμε να δούμε από τα πειραματικά αποτελέσματα, παρουσιάζει καλύτερη απόδοση από προηγούμενους αλγόριθμους. Στη συνέχεια της διατριβής, προτείνεται μια μέθοδος για την εύρεση μιας ακριβούς έκφρασης ESOP για τυχαίες μη πλήρως ορισμένες συναρτήσεις με 6 το πολύ μεταβλητές. Για να το επιτύχουμε αυτό, αποθηκεύουμε σε ένα συμπιεσμένο πίνακα το βάρος όλων των συναρτήσεων 5 μεταβλητών. Στην προσέγγισή μας χρησιμοποιούμε εκτεταμένα αυτόν τον πίνακα, ώστε να επιταχύνουμε το χρόνο εκτέλεσης. Με βάση όσα γνωρίζουμε, αυτός είναι ο πρώτος αλγόριθμος που αντιμετωπίζει αυτό το πρόβλημα. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η δυνατότητα χρησιμοποίησης σύνθετων όρων (complex terms), για την παραγωγή εκφράσεων που είναι πιο συμπαγείς από τις αντίστοιχες ESOP (δηλαδή αποτελούνται από μικρότερο αριθμό όρων). Σε αυτή την περίπτωση δεν επιτρέπεται μόνο η πράξη AND μεταξύ δύο μεταβλητών, αλλά οποιαδήποτε λογική συνάρτηση. Οι εκφράσεις που παράγονται είναι οι προαναφερόμενες εκφράσεις ESCT. Ερευνάται, έπειτα, το πρόβλημα της αποσύνθεσης, απεικόνισης και ελαχιστοποίησης των λογικών συναρτήσεων πολλών εξόδων, σε μορφή εκφράσεων ESCT. Πρώτα παρουσιάζεται ένας μαθηματικός φορμαλισμός για τις λογικές συναρτήσεις μιας εξόδου και έπειτα επεκτείνεται για συναρτήσεις πολλών εξόδων. Επίσης, παρουσιάζεται ένας καινούριος ευριστικός αλγόριθμος για την ελαχιστοποίηση εκφράσεων ESCT για μη πλήρως ορισμένες συναρτήσεις πολλών εξόδων. Ο αλγόριθμος αυτός αποτελεί επέκταση του προηγούμενου για τις εκφράσεις ESOP. Δίνονται πειραματικά αποτελέσματα, που υποδεικνύουν την ανωτερότητα αυτού του αλγορίθμου, όταν συγκρίνεται με προηγούμενους, για μη πλήρως ορισμένες συναρτήσεις και την εκμετάλλευση των αδιάφορων όρων που επιτυγχάνεται. Τέλος, η παρούσα διδακτορική διατριβή παρουσιάζει έναν κβαντικό αλγόριθμο για την εύρεση ελάχιστων εκφράσεων ESOP ή ESCT για τυχαίες μη πλήρως ορισμένες συναρτήσεις. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος εκμεταλλεύεται τον έμφυτο μαζικό παραλληλισμό των κβαντικών κυκλωμάτων, ώστε να επιτύχει καλύτερη πολυπλοκότητα από τους συμβατικούς αλγόριθμους. Οι προτεινόμενες εκφράσεις αποκλειστικού-ή (XOR), όπως οι ESOP και οι ESCT, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υλοποιήσουν μια τυχαία λογική συνάρτηση σε ένα αντιστρέψιμο ή ακόμα και σε ένα κβαντικό κύκλωμα

Minimization of exclusive or expressions - quantum algorithms

The current era in computer engineering, is characterized by the continuously increasing incorporation of computers and embedded systems in the all aspects of our daily life. The integrated circuits continuously shrink, become faster, require less energy with the help of new materials and architectures. As a result, the electronic appliances find more and more applications in all the aspects of our life and, as the time passes, they become an invisible and essential layer of interface with the environment. The research object with which deals the present thesis is the minimization of logic “eΧclusive OR” or (XOR) expressions for an arbitrary logic function, and more particularly, with the reduction of number of terms that constitute this function, as well as with the mapping of such expressions in architectures of new technologies such as quantum computers. An integrated circuit is the practical realization of such a logic expression. Accordingly, there is great effort for the optimization of logic circuits. The most popular such category of expressions is the so-called ESOP (Exclusive or Sum Of Products) expressions, where a logic function is expressed as XOR sum of products. Another more general category are the ESCT (Exclusive or Sum of Complex Terms) expressions, that can be considered as an extension of ESOPs, since the terms are now complex (complex terms) and do not include only the logic function AND between the variables, but also any logic function (of two inputs and one output). The importance of the above expressions is also stressed by the fact that they can, in a trivial manner, be mapped in reversible architectures. A reversible logic circuit has smaller losses of energy in comparison to a conventional circuit and for this reason the composition of reversible circuits is considered the future in the logic design. Another important advantage, is that they can be also used for the composition of quantum circuits. The minimization of these expressions as well as their quantum extensions are the main object of research in this thesis. This work deals firstly, with the theoretical background of the minimization of such expressions. Theorems are proved, which indicate a methodology for finding a minimal ESCT expression for any completely specified single output logic function, with the restriction of the number of terms in its minimal expression or with the restriction of the number of its input variables. Moreover, it is studied how the above conclusions can be used for heuristic minimisation of functions that do not fall in the above restrictions. Later on, the above conclusions are extended, heuristically, for incompletely specified multi-output logic functions. The above theoretical study of the problem of “exclusive or” minimization, is used for the realization of conventional and quantum algorithms which, as it appears also from the experimental results, give better results than the corresponding of the international bibliography. More specifically, the quantum algorithms that can be used for the exact minimization of “exclusive or” expressions, indicate the explicit supremacy of quantum computers against the conventional ones. Finally, we apply the above results in the field of encryption and secure computation. More specifically, the ESCT minimization algorithms are used to achieve up to 39% less cost of communication against the related corresponding efforts of bibliography.Η σημερινή εποχή χαρακτηρίζεται από την ολοένα αυξανόμενη ενσωμάτωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των ενσωματωμένων συστημάτων σε όλες τις πτυχές της καθημερινής μας ζωής. Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα συνεχώς σμικρύνονται, γίνονται ταχύτερα, απαιτούν όλο και μικρότερα ποσά ενέργειας με τη βοήθεια νέων υλικών και αρχιτεκτονικών. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι ηλεκτρονικές συσκευές να βρίσκουν όλο και περισσότερες εφαρμογές σε όλους τους τομείς της ζωής μας και με τον καιρό να μετατρέπονται σε ένα αόρατο και απαραίτητο στρώμα διεπαφής μας με το περιβάλλον. Το αντικείμενο με το οποίο ασχολείται μέχρι στιγμής η παρούσα διατριβή είναι η ελαχιστοποίηση λογικών εκφράσεων ’’αποκλειστικού ή” (XOR) για τυχαία λογική συνάρτηση, και πιο συγκεκριμένα με τη μείωση των όρων από τους οποίους αυτή αποτελείται καθώς και με την απεικόνιση τέτοιων εκφράσεων σε αρχιτεκτονικές νέων τεχνολογιών όπως οι κβαντικοί υπολογιστές. Ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα αποτελεί την πρακτική υλοποίηση μιας τέτοιας λογικής έκφρασης. Κατά συνέπεια, γίνεται προσπάθεια για την βελτιστοποίηση λογικών κυκλωμάτων. Η πιο γνωστή τέτοια κατηγορία εκφράσεων είναι οι λεγάμενες εκφράσεις ESOP (Exclusive or Sum Of Products), όπου μια λογική συνάρτηση εκφράζεται ως άθροισμα XOR από λογικά γινόμενα. Μια άλλη πιο γενική κατηγορία είναι οι ESCT (Exclusive or Sum of Complex Terms) εκφράσεις, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως επέκταση των ESOP, αφού πλέον οι όροι ονομάζονται σύνθετοι (complex terms) και δεν περιλαμβάνουν μόνο τη λογική πράξη ΚΑΙ ανάμεσα στις μεταβλητές, αλλά εν γένει οποιαδήποτε λογική πράξη (συνάρτηση δύο εισόδων μιας εξόδου). Η σημασία των παραπάνω εκφράσεων τονίζεται και από το γεγονός ότι μπορούν, με τετριμμένο τρόπο, να απεικονισθούν σε αντιστρέψιμες αρχιτεκτονικές. Ένα αντιστρέψιμο λογικό κύκλωμα έχει μικρότερες απώλειες ενέργειας σε σχέση με ένα τυπικό λογικό κύκλωμα και για το λόγο αυτό η σύνθεση αντιστρέψιμων κυκλωμάτων θεωρείται το μέλλον στη λογική σχεδίαση. Ένα ακόμα σημαντικό τους πλεονέκτημα είναι ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τη σύνθεση κβαντικών κυκλωμάτων. Η ελαχιστοποίηση αυτών των εκφράσεων καθώς και οι κβαντικές επεκτάσεις τους είναι το κύριο αντικείμενο έρευνας με το οποίο ασχολείται αυτή η εργασία. Η εργασία αυτή ασχολείται καταρχήν, με το θεωρητικό υπόβαθρο της ελαχιστοποίησης τέτοιων εκφράσεων. Αποδεικνύονται θεωρήματα τα οποία υποδεικνύουν μια μεθοδολογία για την εύρεση ελάχιστης ESCT έκφρασης για οποιαδήποτε πλήρως ορισμένη λογική συνάρτηση μοναδικής εξόδου, αλλά με περιορισμό ως προς τον αριθμό των όρων σε μια ελάχιστη έκφρασή της ή με περιορισμό ως προς τον αριθμό των μεταβλητών εισόδου της. Γίνεται, επιπλέον, μελέτη πώς τα παραπάνω συμπεράσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ευριστική ελαχιστοποίηση συναρτήσεων που δεν εμπίπτουν στους παραπάνω περιορισμούς. Στη συνέχεια τα παραπάνω πορίσματα επεκτείνονται, ευριστικά, για ατελώς ορισμένες λογικές συναρτήσεις πολλών εξόδων. Η παραπάνω θεωρητική μελέτη του προβλήματος ελαχιστοποίησης εκφράσεων ’’αποκλειστικού ή”, χρησιμοποιείται για την υλοποίηση συμβατικών και κβαντικών αλγορίθμων οι οποίοι, όπως φαίνεται και από τα πειραματικά αποτελέσματα, δίνουν καλύτερα αποτελέσματα από τους αντίστοιχους της διεθνούς βιβλιογραφίας. Πιο συγκεκριμένα, οι κβαντικοί αλγόριθμοι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ακριβή ελαχιστοποίηση εκφράσεων ’’αποκλειστικού ή” και καταδεικνύουν τη σαφή υπεροχή των κβαντικών υπολογιστών έναντι των κλασικών τους αναλόγων. Τέλος, πραγματοποιείται εφαρμογή των παραπάνω αποτελεσμάτων στο πεδίο της κρυπτογράφησης και των ασφαλών υπολογισμών. Πιο συγκεκριμένα, γίνεται χρήση των αλγορίθμων ελαχιστοποίησης εκφράσεων ESCT για την επίτευξη έως και 39% λιγότερου κόστους επικοινωνίας σε σχέση με τις υπόλοιπες αντίστοιχες προσπάθειες της βιβλιογραφίας. Κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της συγκεκριμένης διατριβής έχουν προκύψει οι δημοσιεύσεις που παρουσιάζονται στον κατάλογο δημοσιεύσεων που ακολoυθεί

Minimization of "exclusive or" expressions

Our times are characterized by the invasion of computers and the embedded systems in our life. Electronic devices are shrinking, they become faster and require smaller amounts of power for their operation. This situation leads to the reduction of the size of integrated circuits which form the basic parts for building electric devices. This thesis deals with minimizing logic expressions using the eXclusive OR logical operation (XOR). More specifically it deals with minimizing the number of terms inside these expressions. A logic circuit is a practical implementation of such an expression. This way, this thesis tries to contribute to the problem of improving logic circuits. The most famous of those expressions is the so called ESOP expression (Exclusive or Sum Of Products), where a logic function is expressed as an Exclusive OR sum of logic products. The main contribution of this thesis lies in minimizing ESCT expressions (Exclusive or Sum of Complex Terms). These expressions are a superset of ESOP, since their terms are called complex and can include not only the logic AND function but logic OR and XOR as well, between the variable literals. The importance of the aforementioned expressions is enhanced by the fact that they can be, trivially, mapped to reversible architectures. A reversible circuit has smaller thermal dissipation than its conventional counterpart since it loses no power due to information loss. That is the reason they are thought to be the future in logic design. One additional important advantage is that they can be used to synthesize quantum circuits. This thesis deals with the theoretical background of minimizing ESOP and ESCT expressions. Theorems are presented which indicate a methodology for finding minimal ESCT and ESCT expressions for any fully defined single output Boolean function but with restrictions on the number of its input variables or the number or terms in its minimal expressions. Those conclusions are, also, used for heuristic minimization for functions that do not conform to the previous limitations. They are also extended for incompletely specified multi output Boolean functions. The practical algorithms that are implemented as a result of this research are compared to algorithms from the international bibliography and their results indicate their effectiveness. Lastly, some of the theoretical results are extended in the field of quantum computations. We propose quantum algorithms for exact ESOP and ESCT minimization and these algorithms show the advantage of a quantum computer over its classical counterpart for difficult computational problems.Η σημερινή εποχή χαρακτηρίζεται από την εισβολή των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των ενσωματωμένων συστημάτων σε κάθε πτυχή της ζωής μας. Οι ηλεκτρονικές συσκευές, συνεχώς, συρρικνώνονται, γίνονται ταχύτερες ενώ απαιτούν όλο και μικρότερα ποσά ενέργειας για τη λειτουργία τους. Η κατάσταση αυτή οδηγεί, μοιραία, και στη μείωση του μεγέθους των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων των βασικών, δηλαδή, δομικών στοιχείων των σύγχρονων ηλεκτρονικών συσκευών. Η παρούσα διδακτορική διατριβή ασχολείται με την ελαχιστοποίηση λογικών εκφράσεων “αποκλειστικού ή” (XOR) για τυχαία λογική συνάρτηση, και πιο συγκεκριμένα με τη μείωση των όρων από τους οποίους αυτή αποτελείται. Ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα αποτελεί την πρακτική υλοποίηση μιας τέτοιας λογικής έκφρασης. Κατά συνέπεια η διατριβή αυτή προσπαθεί να προσφέρει στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης των λογικών κυκλωμάτων. Η πιο γνωστή τέτοια κατηγορία εκφράσεων είναι οι λεγάμενες εκφράσεις ESOP (Exclusive or Sum Of Products), όπου μια λογική συνάρτηση εκφράζεται ως άθροισμα XOR από λογικά γινόμενα. O κύριος στόχος της διατριβής είναι η ελαχιστοποίηση εκφράσεων ESCT (Exclusive or Sum of Complex Terms), οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως επέκταση των ESOP, αφού πλέον οι όροι ονομάζονται σύνθετοι (complex terms) και δεν περιλαμβάνουν μόνο τη λογική πράξη ΚΑΙ ανάμεσα στις μεταβλητές αλλά εν γένει οποιαδήποτε λογική πράξη (συνάρτηση δύο εισόδων μιας εξόδου). Η σημασία των παραπάνω εκφράσεων τονίζεται και από το γεγονός ότι μπορούν, με τετριμμένο τρόπο, να απεικονισθούν σε αντιστρέψιμες αρχιτεκτονικές. Ένα αντιστρέψιμο λογικό κύκλωμα έχει μικρότερες απώλειες ενέργειας σε σχέση με ένα τυπικό λογικό κύκλωμα και για το λόγο αυτό η σύνθεση αντιστρέψιμων κυκλωμάτων θεωρείται το μέλλον στη λογική σχεδίαση. Ένα ακόμα σημαντικό τους πλεονέκτημα είναι ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τη σύνθεση κβαντικών κυκλωμάτων. Η διατριβή ασχολείται, καταρχήν, με το θεωρητικό υπόβαθρο της ελαχιστοποίησης τέτοιων εκφράσεων. Αποδεικνύονται θεωρήματα τα οποία υποδεικνύουν μια μεθοδολογία για την εύρεση ελάχιστης ESOP ή ESCT έκφρασης για οποιαδήποτε πλήρως ορισμένη λογική συνάρτηση μοναδικής εξόδου αλλά με περιορισμό ως προς τον αριθμό των όρων σε μια ελάχιστη έκφρασή της ή με περιορισμό ως προς τον αριθμό των μεταβλητών εισόδου της. Γίνεται επιπλέον μελέτη πως τα παραπάνω συμπεράσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ευριστική ελαχιστοποίηση συναρτήσεων που δεν εμπίπτουν στους παραπάνω περιορισμούς. Στη συνέχεια τα παραπάνω πορίσματα επεκτείνονται, ευριστικά, για ατελώς ορισμένες λογικές συναρτήσεις πολλών εξόδων. Η παραπάνω θεωρητική μελέτη του προβλήματος ελαχιστοποίησης εκφράσεων αποκλειστικού ή χρησιμοποιείται για την υλοποίηση πρακτικών αλγορίθμων οι οποίοι, όπως φαίνεται και από τα πειραματικά αποτελέσματα, δίνουν καλύτερα αποτελέσματα από τους αντίστοιχους της διεθνούς βιβλιογραφίας. Τέλος κάποια από τα παραπάνω θεωρητικά πορίσματα επεκτείνονται στο χώρο των κβαντικών υπολογισμών. Προτείνονται κβαντικοί αλγόριθμοι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ακριβή ελαχιστοποίηση εκφράσεων “αποκλειστικού ή” και καταδεικνύουν τη σαφή υπεροχή των κβαντικών υπολογιστών έναντι των κλασικών τους αναλόγων