28 research outputs found

    A Note On Quadrangular Embedding Of Abelian Cayley Graphs

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    The genus graphs have been studied by many authors, but just a few results concerning in special cases: Planar, Toroidal, Complete, Bipartite and Cartesian Product of Bipartite. We present here a general lower bound for the genus of a abelian Cayley graph and construct a family of circulant graphs which reach this bound.17333134

    Index

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    Subject Index Volumes 1–200

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    AUTOMORPHISM GROUPS OF MAPS, SURFACES AND SMARANDACHE GEOMETRIES

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    Automorphism groups survey similarities on mathematical systems, which appear nearly in all mathematical branches, such as those of algebra, combinatorics, geometry, · · · and theoretical physics, theoretical chemistry, etc.. In geometry, configurations with high symmetry born symmetrical patterns, a kind of beautiful pictures in aesthetics. Naturally, automorphism groups enable one to distinguish systems by similarity. More automorphisms simply more symmetries of that system. This fact has established the fundamental role of automorphism groups in modern sciences. So it is important for graduate students knowing automorphism groups with applications

    Impact of Symmetries in Graph Clustering

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    Diese Dissertation beschĂ€ftigt sich mit der durch die Automorphismusgruppe definierten Symmetrie von Graphen und wie sich diese auf eine Knotenpartition, als Ergebnis von Graphenclustering, auswirkt. Durch eine Analyse von nahezu 1700 Graphen aus verschiedenen Anwendungsbereichen kann gezeigt werden, dass mehr als 70 % dieser Graphen Symmetrien enthalten. Dies bildet einen Gegensatz zum kombinatorischen Beweis, der besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines zufĂ€lligen Graphen symmetrisch zu sein bei zunehmender GrĂ¶ĂŸe gegen Null geht. Das Ergebnis rechtfertigt damit die Wichtigkeit weiterer Untersuchungen, die auf mögliche Auswirkungen der Symmetrie eingehen. Bei der Analyse werden sowohl sehr kleine Graphen (10 000 000 Knoten/>25 000 000 Kanten) berĂŒcksichtigt. Weiterhin wird ein theoretisches Rahmenwerk geschaffen, das zum einen die detaillierte Quantifizierung von Graphensymmetrie erlaubt und zum anderen StabilitĂ€t von Knotenpartitionen hinsichtlich dieser Symmetrie formalisiert. Eine Partition der Knotenmenge, die durch die Aufteilung in disjunkte Teilmengen definiert ist, wird dann als stabil angesehen, wenn keine Knoten symmetriebedingt von der einen in die andere Teilmenge abgebildet werden und dadurch die Partition verĂ€ndert wird. Zudem wird definiert, wie eine mögliche Zerlegbarkeit der Automorphismusgruppe in unabhĂ€ngige Untergruppen als lokale Symmetrie interpretiert werden kann, die dann nur Auswirkungen auf einen bestimmten Bereich des Graphen hat. Um die Auswirkungen der Symmetrie auf den gesamten Graphen und auf Partitionen zu quantifizieren, wird außerdem eine Entropiedefinition prĂ€sentiert, die sich an der Analyse dynamischer Systeme orientiert. Alle Definitionen sind allgemein und können daher fĂŒr beliebige Graphen angewandt werden. Teilweise ist sogar eine Anwendbarkeit fĂŒr beliebige Clusteranalysen gegeben, solange deren Ergebnis in einer Partition resultiert und sich eine Symmetrierelation auf den Datenpunkten als Permutationsgruppe angeben lĂ€sst. Um nun die tatsĂ€chliche Auswirkung von Symmetrie auf Graphenclustering zu untersuchen wird eine zweite Analyse durchgefĂŒhrt. Diese kommt zum Ergebnis, dass von 629 untersuchten symmetrischen Graphen 72 eine instabile Partition haben. FĂŒr die Analyse werden die Definitionen des theoretischen Rahmenwerks verwendet. Es wird außerdem festgestellt, dass die LokalitĂ€t der Symmetrie eines Graphen maßgeblich beeinflusst, ob dessen Partition stabil ist oder nicht. Eine hohe LokalitĂ€t resultiert meist in einer stabilen Partition und eine stabile Partition impliziert meist eine hohe LokalitĂ€t. Bevor die obigen Ergebnisse beschrieben und definiert werden, wird eine umfassende EinfĂŒhrung in die verschiedenen benötigten Grundlagen gegeben. Diese umfasst die formalen Definitionen von Graphen und statistischen Graphmodellen, Partitionen, endlichen Permutationsgruppen, Graphenclustering und Algorithmen dafĂŒr, sowie von Entropie. Ein separates Kapitel widmet sich ausfĂŒhrlich der Graphensymmetrie, die durch eine endliche Permutationsgruppe, der Automorphismusgruppe, beschrieben wird. Außerdem werden Algorithmen vorgestellt, die die Symmetrie von Graphen ermitteln können und, teilweise, auch das damit eng verwandte Graphisomorphie Problem lösen. Am Beispiel von Graphenclustering gibt die Dissertation damit Einblicke in mögliche Auswirkungen von Symmetrie in der Datenanalyse, die so in der Literatur bisher wenig bis keine Beachtung fanden
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