Exponential convergence to equilibrium in cellular automata asymptotically emulating identity

We consider the problem of finding the density of 1's in a configuration obtained by $n$ iterations of a given cellular automaton (CA) rule, starting from disordered initial condition. While this problems is intractable in full generality for a general CA rule, we argue that for some sufficiently simple classes of rules it is possible to express the density in terms of elementary functions. Rules asymptotically emulating identity are one example of such a class, and density formulae have been previously obtained for several of them. We show how to obtain formulae for density for two further rules in this class, 160 and 168, and postulate likely expression for density for eight other rules. Our results are valid for arbitrary initial density. Finally, we conjecture that the density of 1's for CA rules asymptotically emulating identity always approaches the equilibrium point exponentially fast.Comment: 20 pages, 4 figures, 2 table

Aproximações generalizadas de campo médio para jogos evolutivos em redes

Evolutionary game theory offers interesting models for the study of the emergence and maintenance of cooperation. One mechanism that can maintain cooperation in a Prisoner’s Dilemma is affixing players in a network, under imitation dynamics (NOWAK; MAY, 1992). Interestingly, it was found that dilution of this lattice may lead to an enhancement of cooperation (VAINSTEIN; ARENZON, 2001), and this increase has a connection to the percolation threshold of the lattice (WANG; SZOLNOKI; PERC, 2012a). We intend to explore this phenomenon using extended mean-field approximations. We didactically present the construction of these approximations and develop a simple and clear algorithm that systematically implements an approximation method based on the ideas presented by Gutowitz & Victor (1987), explaining them in a simple way of under/overrepresentation of structures. We use this method to explore and compare different approximations for the square lattice. We found that the most commonly used pair approximation for the square lattice does not have the best predictions amongst the pair approximations, at least in the evolutionary game system analysed. We use pair approximations for different diluted lattices to explore the connection of percolation and the increase of cooperation. The pair approximations reproduce the phenomenon in a qualitative way. We find that, for the pair approximation, the site-occupancy at which the peak of cooperation disappears can be changed by alterations in the noise of the imitation function probability, including changing the peak to beyond the percolation threshold. These could be explained if the increase of cooperation happens due to favorable local configurations becoming more probable around some site occupation values, which could be confused with the percolation threshold.A Teoria de Jogos Evolutivos oferece modelos interessantes para o estudo da emergência e manutenção da cooperação. Um mecanismo que consegue manter a cooperação no Dilema do Prisioneiro é a fixação dos jogadores em uma rede, usando dinâmica de imitação (NOWAK; MAY, 1992). Um resultado interessante que foi encontrado é que a diluição dessas redes pode levar a um aumento da cooperação (VAINSTEIN; ARENZON, 2001), e este aumento tem uma conexão com o limite de percolação crítico da rede (WANG; SZOLNOKI; PERC, 2012a). Nós pretendemos explorar esse fenômeno usando aproximações de campo-médio extendidas. Como parte dessa exploração, apresentamos didaticamente a construção dessas aproximações e desenvolvemos um algoritmo claro e simples para sistematicamente implementar um método de aproximação baseado nas idéias apresentadas por Gutowitz & Victor (1987), explicando-as de uma forma simples, através do conceito de sub/super-representação de estruturas. Com o uso deste método para explorar e comparar diferentes aproximações na rede quadrada, encontramos que a aproximação mais comumente usada não apresenta as melhores previsões entre as diferentes aproximações de pares para a rede quadrada, ao menos no sistema de jogo evolucionário analisado. Usando aproximações de pares para diferentes redes diluídas, exploramos a conexão entre percolação e o aumento de cooperadores. As aproximações de pares reproduzem o fenômeno de uma forma qualitativa. Descobrimos que, ao menos para as aproximações de pares, o pico de cooperação desaparece em diferentes ocupações de rede com alterações do ruído na função da probabilidade de imitação, incluindo mudanças para além do limite crítico de percolação. Esses fatos podem ser explicados caso o aumento da cooperação esteja ligada a configurações locais mais favoráveis se tornarem mais provável para alguns valores de ocupação da rede, valores estes que p