On a Tree and a Path with no Geometric Simultaneous Embedding

Two graphs $G_1=(V,E_1)$ and $G_2=(V,E_2)$ admit a geometric simultaneous embedding if there exists a set of points P and a bijection M: P -> V that induce planar straight-line embeddings both for $G_1$ and for $G_2$. While it is known that two caterpillars always admit a geometric simultaneous embedding and that two trees not always admit one, the question about a tree and a path is still open and is often regarded as the most prominent open problem in this area. We answer this question in the negative by providing a counterexample. Additionally, since the counterexample uses disjoint edge sets for the two graphs, we also negatively answer another open question, that is, whether it is possible to simultaneously embed two edge-disjoint trees. As a final result, we study the same problem when some constraints on the tree are imposed. Namely, we show that a tree of depth 2 and a path always admit a geometric simultaneous embedding. In fact, such a strong constraint is not so far from closing the gap with the instances not admitting any solution, as the tree used in our counterexample has depth 4.Comment: 42 pages, 33 figure

Interactive graph drawing with constraints

This thesis investigates the requirements for graph drawing stemming from practical applications, and presents both theoretical as well as practical results and approaches to handle them. Many approaches to compute graph layouts in various drawing styles exist, but the results are often not sufficient for use in practice. Drawing conventions, graphical notation standards, and user-defined requirements restrict the set of admissible drawings. These restrictions can be formalized as constraints for the layout computation. We investigate the requirements and give an overview and categorization of the corresponding constraints. Of main importance for the readability of a graph drawing is the number of edge crossings. In case the graph is planar it should be drawn without crossings, otherwise we should aim to use the minimum number of crossings possible. However, several types of constraints may impose restrictions on the way the graph can be embedded in the plane. These restrictions may have a strong impact on crossing minimization. For two types of such constraints we present specific solutions how to consider them in layout computation: We introduce the class of so-called embedding constraints, which restrict the order of the edges around a vertex. For embedding constraints we describe approaches for planarity testing, embedding, and edge insertion with the minimum number of crossings. These problems can be solved in linear time with our approaches. The second constraint type that we tackle are clusters. Clusters describe a hierarchical grouping of the graph's vertices that has to be reflected in the drawing. The complexity of the corresponding clustered planarity testing problem for clustered graphs is unknown so far. We describe a technique to compute a maximum clustered planar subgraph of a clustered graph. Our solution is based on an Integer Linear Program (ILP) formulation and includes also the first practical clustered planarity test for general clustered graphs. The resulting subgraph can be used within the first step of the planarization approach for clustered graphs. In addition, we describe how to improve the performance for pure clustered planarity testing by implying a branch-and-price approach. Large and complex graphs nowadays arise in many application domains. These graphs require interaction and navigation techniques to allow exploration of the underlying data. The corresponding concepts are presented and solutions for three practical applications are proposed: First, we describe Scaffold Hunter, a tool for the exploration of chemical space. We show how to use a hierarchical classification of molecules for the visual navigation in chemical space. The resulting visualization is embedded into an interactive environment that allows visual analysis of chemical compound databases. Finally, two interactive visualization approaches for two types of biological networks, protein-domain networks and residue interaction networks, are presented.In zahlreichen Anwendungsgebieten werden Informationen als Graphen modelliert und mithilfe dieser Graphen visualisiert. Eine übersichtliche Darstellung hilft bei der Analyse und unterstützt das Verständnis bei der Präsentation von Informationen mittels graph-basierter Diagramme. Neben allgemeinen ästhetischen Kriterien bestehen für eine solche Darstellung Anforderungen, die sich aus der Charakteristik der Daten, etablierten Darstellungskonventionen und der konkreten Fragestellung ergeben. Zusätzlich ist häufig eine individuelle Anpassung der Darstellung durch den Anwender gewünscht. Diese Anforderungen können mithilfe von Nebenbedingungen für die Berechnung eines Layouts formuliert werden. Trotz einer Vielzahl unterschiedlicher Anforderungen aus zahlreichen Anwendungsgebieten können die meisten Anforderungen über einige generische Nebenbedingungen formuliert werden. In dieser Arbeit untersuchen wir die Anforderungen aus der Praxis und beschreiben eine Zuordnung zu Nebenbedingungen für die Layoutberechnung. Wir geben eine Übersicht über den aktuellen Stand der Behandlung von Nebenbedingungen beim Zeichnen von Graphen und kategorisieren diese nach grundlegenden Eigenschaften. Von besonderer Wichtigkeit für die Qualität einer Darstellung ist die Anzahl der Kreuzungen. Planare Graphen sollten kreuzungsfrei gezeichnet werden, bei nicht-planaren Graphen sollte die minimale Anzahl Kreuzungen erreicht werden. Einige Nebenbedingungen beschränken jedoch die Möglichkeit, den Graph in die Ebene einzubetten. Dies kann starke Auswirkungen auf das Ergebnis der Kreuzungsminimierung haben. Zwei wichtige Typen solcher Nebenbedingungen werden in dieser Arbeit näher untersucht. Mit den Embedding Constraints führen wir eine Klasse von Nebenbedingungen ein, welche die mögliche Reihenfolge der Kanten um einen Knoten beschränken. Für diese Klasse präsentieren wir Linearzeitalgorithmen für das Testen der Planarität und das optimale Einfügen von Kanten unter Beachtung der Einbettungsbeschränkungen. Der zweite Typ von Nebenbedingungen sind Cluster, die eine hierarchische Gruppierung von Knoten vorgeben. Für das Testen der Cluster-Planarität unter solchen Nebenbedingungen ist die Komplexität bisher unbekannt. Wir beschreiben ein Verfahren, um einen maximalen Cluster-planaren Untergraphen zu berechnen. Wir nutzen dabei eine Formulierung als ganzzahliges lineares Programm sowie einen Branch-and-Cut Ansatz zur Lösung. Das Verfahren erlaubt auch die Bestimmung der Cluster-Planarität und stellt damit den ersten praktischen Ansatz zum Testen allgemeiner Clustergraphen dar. Zusätzlich beschreiben wir eine Verbesserung für den Fall, dass lediglich Cluster-Planarität getestet werden muss, der maximale Cluster-planare Untergraph aber nicht von Interesse ist. Für dieses Szenario geben wir eine vereinfachte Formulierung und präsentieren ein Lösungsverfahren, das auf einem Branch-and-Price Ansatz beruht. In der Praxis müssen häufig sehr große oder komplexe Graphen untersucht werden. Dazu werden entsprechende Interaktions- und Navigationsmethoden benötigt. Wir beschreiben die entsprechenden Konzepte und stellen Lösungen für drei Anwendungsbereiche vor: Zunächst beschreiben wir Scaffold Hunter, eine Software zur Navigation im chemischen Strukturraum. Scaffold Hunter benutzt eine hierarchische Klassifikation von Molekülen als Grundlage für die visuelle Navigation. Die Visualisierung ist eingebettet in eine interaktive Oberfläche die eine visuelle Analyse von chemischen Strukturdatenbanken erlaubt. Für zwei Typen von biologischen Netzwerken, Protein-Domänen Netzwerke und Residue-Interaktionsnetzwerke, stellen wir Ansätze für die interaktive Visualisierung dar. Die entsprechenden Layoutverfahren unterliegen einer Reihe von Nebenbedingungen für eine sinnvolle Darstellung

Constrained Simultaneous and Near-simultaneous Embeddings

A geometric simultaneous embedding of two graphs G1 = (V1, E1) and G2 = (V2, E2) with a bijective mapping of their vertex sets γ: V1 → V2 is a pair of planar straight-line drawings Γ1 of G1 and Γ2 of G2, such that each vertex v2 = γ(v1) is mapped in Γ2 to the same point where v1 is mapped in Γ1, where v1 ∈ V1 and v2 ∈ V2. In this paper we examine several constrained versions and a relaxed version of the geometric simultaneous embedding problem. We show that if the input graphs are assumed to share no common edges this does not seem to yield large classes of graphs that can be simultaneously embedded. Further, if a prescribed combinatorial embedding for each input graph must be preserved, then we can answer some of the problems that are still open for geometric simultaneous embedding. Finally, we present some positive and negative results on the near-simultaneous embedding problem, in which vertices are not forced to be placed exactly in the same, but just in “near” points in different drawings