Cluster algebras of infinite rank as colimits

We formalize the way in which one can think about cluster algebras of infinite rank by showing that every rooted cluster algebra of infinite rank can be written as a colimit of rooted cluster algebras of finite rank. Relying on the proof of the posivity conjecture for skew-symmetric cluster algebras (of finite rank) by Lee and Schiffler, it follows as a direct consequence that the positivity conjecture holds for cluster algebras of infinite rank. Furthermore, we give a sufficient and necessary condition for a ring homomorphism between cluster algebras to give rise to a rooted cluster morphism without specializations. Assem, Dupont and Schiffler proposed the problem of a classification of ideal rooted cluster morphisms. We provide a partial solution by showing that every rooted cluster morphism without specializations is ideal, but in general rooted cluster morphisms are not ideal.Comment: Included cluster algebras of uncountable rank, fixed some typos. Results on the countable case unchanged, comments appreciate

Descent representations and colored quasisymmetric functions

The quasisymmetric generating function of the set of permutations whose inverses have a fixed descent set is known to be symmetric and Schur-positive. The corresponding representation of the symmetric group is called the descent representation. In this paper, we provide an extension of this result to colored permutation groups, where Gessel's fundamental quasisymmetric functions are replaced by Poirier's colored quasisymmetric functions. For this purpose, we introduce a colored analogue of zigzag shapes and prove that the representations associated with these shapes coincide with colored descent representations studied by Adin, Brenti and Roichman in the case of two colors and Bagno and Biagioli in the general case. Additionally, we provide a colored analogue of MaMahon's alternating formula which expresses ribbon Schur functions in the basis of complete homogeneous symmetric functions.Comment: 16 page

Enumerative combinatorics, representations and quasisymmetric functions

Η παρούσα διατριβή αποτελείται ουσιαστικά από δυο μέρη με κύριο πρωταγωνιστή τις χρωματισμένες quasi-συμμετρικές συναρτήσεις. Το 1984 ο Gessel εισήγαγε τις quasi-συμμετρικές συναρτήσεις, μια γενίκευση των συμμετρικών συναρτήσεων. Έπειτα, το 1993, μαζί με τον Reutenauer μελέτησαν εκτιμήσεις διάφορων quasi-συμμετρικών συναρτήσεων που σχετίζονται με υποσύνολα της συμμετρικής ομάδας, τα οποία έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες, όπως για παράδειγμα, συμμετρία και Schur-θτεικότητα. To 1998 ο Poirier εισήγαγε τις χρωματισμένες quasi-συμμετρικές συναρτήσεις, ένα χρωματισμένο ανάλογο των quasi-συμμετρικών συναρτήσεων του Gessel. Στο πρώτο μέρος, αναπτύσσουμε μια γενική θεωρία εκτιμήσεων χρωματισμένων quasi-συμμετρικών συναρτήσεων στο πνεύμα των Gessel και Reutenauer. Αυτό μας επιτρέπει να αποδείξουμε συστηματικά γενικευμένες ταυτότητες Euler-Mahonian πάνω από χρωματισμένες ομάδες μεταθέσεων καθώς και πάνω από ενδιαφέροντα υποσύνολα αυτών, όπως το σύνολο των χρωματισμένων μεταθέσεων χωρίς σταθερά σημεία μηδενικού χρώματος (colored derangements) και το σύνολο των χρωματισμένων μεταθέσεων που ισούνται με τον συζυγή αντίστροφό τους (absolute involutions). Το 2017 οι Elizalde και Roichman απέδειξαν ότι η quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση ενός υποσυνόλου της συμμετρικής ομάδας, του οποίου η quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση ισούται με την χαρακτηριστική Frobenius κάποιου χαρακτήρα χ της συμμετρικής ομάδας, και μιας αντίστροφης κλάσης καθόδων ισούται με τη χαρακτηριστική Frobenius του τανυστικού γινομένου του χ και του χαρακτήρα της αντίστοιχης αναπαράστασης καθόδων της συμμετρικής ομάδας. Στο δεύτερο μέρος αποδεικνύουμε ένα χρωματισμένο ανάλογο του θεωρήματος των Elizalde και Roichman. Πιο συγκεκριμένα, εισάγουμε την έννοια της χρωματισμένης λωρίδας και αποδεικνύουμε ότι η χαρακτηριστική Frobenius της αναπαράστασης καθόδων της χρωματισμένης ομάδας μεταθέσεων ισούται με την χρωματισμένη quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση του συνόλου των ταμπλώ που το σχήμα τους είναι χρωματισμένη λωρίδα. Αυτό αποτελεί χρωματισμένο ανάλογο της προσέγγισης του Gessel στις αναπραστάσεις καθόδων της συμμετρικής ομάδας, ο οποίος χρησιμοποιεί λωρίδες (ή αλλιώς σχήματα zig-zag). Επιπλέον, στηριζόμενοι στη θεωρία χρωματισμένων P-διαμερίσεων των Hsiao και Petersen και την μέθοδο που αναπτύξαμε στο πρώτο μέρος, διατυπώνουμε και αποδεινύουμε ένα χρωματισμένο ανάλογο του θεωρήματος ανακατέματος του Stanley.The present thesis consists of two parts whose main protagonists are colored quasisymmetric functions. In 1984, Gessel introduced quasisymmetric functions, a generalization of symmetric functions. In 1993, together with Reutenauer they studied specializations of families of quasisymmetric functions associated to subsets of the symmetric group, which have many desirable properties, such as symmetry and Schur-positivity. In 1998, Poirier introduced colored quasisymmetric functions, a colored analogue of quasisymmetric functions. In the first part, we develop a general theory of specializations of colored quasisymmetric functions in the spirit of Gessel and Reutenauer's work. This allows us to systematically prove refined Euler--Mahonian identities on colored permutation groups and subsets of these, such as derangements and involutions. In 2017, Elizalde and Roichman proved that the quasisymmetric function of the product of a collection of permutations whose quasisymmetric generating function equals the Frobenius characteristic of some character χ of the symmetric group and an inverse descent class equals the Frobenius characteristic of the character of the tensor product of χ and the corresponding descent representation of the symmetric group. The second part deals with proving a colored analogue of Elizalde and Roichman's result. More precisely, we introduce a notion of colored ribbons and prove that the (colored) Frobenius characteristic of the descent representation of colored permutation groups equals the colored quasisymmetric generating function of colored ribbon shaped tableaux. This provides a colored analogue of Gessel's zig-zag shape approach to descent representations of the symmetric group. In addition, exploiting Hsiao--Petersen's theory of colored P-partitions and the method developed in the first part, we prove a colored analogue of Stanley's shuffling theorem

A Pieri-type formula for isotropic flag manifolds

We give the formula for multiplying a Schubert class on an odd orthogonal or symplectic flag manifold by a special Schubert class pulled back from a Grassmannian of maximal isotropic subspaces. This is also the formula for multiplying a type $B$ (respectively, type $C$) Schubert polynomial by the Schur $P$-polynomial $p_m$ (respectively, the Schur $Q$-polynomial $q_m$). Geometric constructions and intermediate results allow us to ultimately deduce this from formulas for the classical flag manifold. These intermediate results are concerned with the Bruhat order of the Coxeter group ${\mathcal B}_\infty$, identities of the structure constants for the Schubert basis of cohomology, and intersections of Schubert varieties. We show these identities follow from the Pieri-type formula, except some `hidden symmetries' of the structure constants. Our analysis leads to a new partial order on the Coxeter group ${\mathcal B}_\infty$ and formulas for many of these structure constants