Complétude en Logiques

Les travaux présentés succinctement dans ce mémoire concernent ce quel’on peut présenter en première lecture comme des démonstrations de lacomplétude des méthodes de démonstration automatique, en particulier dela méthode des tableaux. La complétude est un résultat permettant d’assurerque, si une assertion est prouvable – ou encore universellement valide–, alorsla recherche de preuve exhaustive, associée à la méthode de démonstrationautomatique, aboutira.Comme nous le verrons, ces résultats de complétude se traduisent, toutd’abord, en des résultats de complétude sans coupure pour le calcul desséquents, puis en des théorèmes d’admissibilité de la coupure de ce mêmecalcul des séquents, ce qui est l’un des résultats centraux de toute logique.Afin de l’obtenir dans un plus grand nombre de cas, nous développeronsensuite des méthodes plus algébriques.Nous approfondirons notre examen de ces démonstrations d’admissibilitéde la coupure en les rapprochant des preuves de normalisation : dans unpremier temps en étudiant la manière dont l’admissibilité, lorsqu’elle estdémontrée de manière constructive, génère des preuves sans coupure, et donccontient un algorithme d’élimination des coupures. Dans un second temps,nous étudierons les structures sémantiques associées à la normalisation.Ces travaux ont été menés dans des systèmes logiques, tels que la logiqued’ordre supérieure, classique, intuitionniste ou linéaire, en tenant compte del’intentionnalité. Le domaine d’application le plus important des techniquesdéveloppées dans ce manuscrit est cependant la Déduction modulo théorie,qui ajoute une relation de réécriture à la logique du premier ordre et auxsystèmes de preuve. Cette relation permet de prendre en compte l’aspectcalculatoire des preuves, et d’éviter l’introduction d’axiomes. L’étude de larègle de coupure et de son élimination devient uniforme ; de plus, l’on peut,jusqu’à un certain point, s’abstraire des systèmes de réécritures concret