Solving the two-dimensional bin packing problem

Das ”two-dimensional bin packing” Problem mit orientierten Elementen und freiem Schneiden (2BP|O|F) wurde in dieser Arbeit diskutiert. Für dieses Problem müssen ein Set kleiner, rechteckiger Elemente in ein unbegrenztes Set von einheitlichen großen Objekten gepackt werden. Orientiert heißt, dass die Elemente nicht gedreht werden dürfen und freies Schneiden heißt, dass die Elemente überall im großen Objekt platziert werden können, solange sie innerhalb von diesem platziert werden und sich dabei nicht überlappen. Es gibt eine große Anzahl an Variationen für das Problem, wie zum Beispiel eine unterschiedliche Dimensionalität, unterschiedlich große Objekte, unregelmäßig geformte Elemente, rotierbare Elemente oder dass nur Guillotineschnitte vorgenommen werden können. Für diese Arbeit wurde ein neues ILP Modell entwickelt. Weiters wurde eine bereits existierende Heuristik (LGFi) verbessert, indem ein auf Wahrscheinlichkeiten basierender Ansatz verwendet wurde. Die Heuristik besteht aus einem Vorverarbeitungsschritt und einem zweiten Schritt in dem die Elemente gepackt werden. Das Ziel des Vorverarbeitungsschrittes ist es die Elemente zu sortieren und das Ziel des zweiten Schrittes ist es die sortierten Elemente zu packen. Was verändert wurde ist, dass die Elemente nicht mehr auf eine deterministische Weise sortiert werden sondern basierend auf Wahrscheinlichkeiten. Diese verbesserte Heuristik wurde mit Hilfe von drei verschiedenen Ansätzen auf 500 Instanzen, die von der Literatur zur Verfügung gestellt wurden, angewendet. Diese drei sind ein multi-start Ansatz, Beam Search und Variable Neighborhood Search. Alle drei übertreffen die bisher dagewesenen Ansätze, wobei Beam Search die schlechteste ist und der multi-start Ansatz und Variable Neighborhood Search am besten und etwa gleich gut sind. Außerdem wurden drei neue beste Lösungen für die 500 Instanzen gefunden

Bin-packing with fragile objects and frequency allocation in cellular networks

We consider two related optimization problems: bin-packing with fragile objects and frequency allocation in cellular networks. The former is a generalization of the classical bin-packing problem and is motivated by the latter. The problem is as follows: each object has two attributes, weight and fragility. The goal is to pack objects into bins such that, for every bin, the sum of weights of objects in that bin is no more than the fragility of any object in that bin. We consider approximation algorithms for this problem. We provide a 2-approximation to the problem of minimizing the number of bins. We also show a lower bound of 3/2 on the approximation ratio. Unlike for the classical bin-packing problem, this lower bound holds in the asymptotic case. We then consider the approximation with respect to fragility and provide a 2-approximation algorithm (i.e., our algorithm uses the same number of bins as the optimum, but the weight of objects in a bin can exceed the fragility by a factor of 2). We then consider the frequency allocation problem (which is a special case of bin-packing with fragile objects) and give improved approximation algorithms for it. Finally, we consider a probabilistic setting and show that our algorithm for frequency allocation approaches optimality as the number of users increases

The Bin Packing Problem with Fragile Objects: Models and Solution Methods

The Bin Packing Problem (BPP) is an important optimization problem with many applications. Given a set of items with a certain weight and a set of bins with fixed capacity, the classical BPP seeks to pack the items into the minimum number of bins. In this thesis a variant of the BPP, the Bin Packing Problem with Fragile Objects (BPPFO), is studied. The BPPFO originates in telecommunication systems where cellphone calls are assigned to towers based on the noise level of calls and the tolerance level of each call in the channel.In this case, the calls are represented as objects that are characterized by a weight and a fragility parameter. The fragility parameter corresponds to the noise tolerance level of each call, and the weight corresponds to the noise produced by a call. As calls are assigned, the total noise produced within a channel can not exceed the lowest tolerance level among the calls. The less the tolerance level, the more fragile the line becomes. Hence, the capacity of the bin depends on the smallest fragility of any item packed in it. In this thesis, two new formulations are proposed. The first is based on the classical BPP formulation to which a Lagrangian relaxation is applied. Several heuristics are developed to find upper bounds, including a greedy heuristic. The second is a graph-based formulation that is solved directly. A standard data set is used for testing. It is found that the new formulation based on the classical BPP is more efficient in getting a Lagrangian lower bound and the greedy heuristic outperforms other heuristics in finding good quality upper bounds in very short computational times, especially with very large data instances