Better Unrelated Machine Scheduling for Weighted Completion Time via Random Offsets from Non-Uniform Distributions

In this paper we consider the classic scheduling problem of minimizing total weighted completion time on unrelated machines when jobs have release times, i.e, $R | r_{ij} | \sum_j w_j C_j$ using the three-field notation. For this problem, a 2-approximation is known based on a novel convex programming (J. ACM 2001 by Skutella). It has been a long standing open problem if one can improve upon this 2-approximation (Open Problem 8 in J. of Sched. 1999 by Schuurman and Woeginger). We answer this question in the affirmative by giving a 1.8786-approximation. We achieve this via a surprisingly simple linear programming, but a novel rounding algorithm and analysis. A key ingredient of our algorithm is the use of random offsets sampled from non-uniform distributions. We also consider the preemptive version of the problem, i.e, $R | r_{ij},pmtn | \sum_j w_j C_j$. We again use the idea of sampling offsets from non-uniform distributions to give the first better than 2-approximation for this problem. This improvement also requires use of a configuration LP with variables for each job's complete schedules along with more careful analysis. For both non-preemptive and preemptive versions, we break the approximation barrier of 2 for the first time.Comment: 24 pages. To apper in FOCS 201

Greed Works -- Online Algorithms For Unrelated Machine Stochastic Scheduling

This paper establishes performance guarantees for online algorithms that schedule stochastic, nonpreemptive jobs on unrelated machines to minimize the expected total weighted completion time. Prior work on unrelated machine scheduling with stochastic jobs was restricted to the offline case, and required linear or convex programming relaxations for the assignment of jobs to machines. The algorithms introduced in this paper are purely combinatorial. The performance bounds are of the same order of magnitude as those of earlier work, and depend linearly on an upper bound on the squared coefficient of variation of the jobs' processing times. Specifically for deterministic processing times, without and with release times, the competitive ratios are 4 and 7.216, respectively. As to the technical contribution, the paper shows how dual fitting techniques can be used for stochastic and nonpreemptive scheduling problems.Comment: Preliminary version appeared in IPCO 201

Scheduling to Minimize Total Weighted Completion Time via Time-Indexed Linear Programming Relaxations

We study approximation algorithms for scheduling problems with the objective of minimizing total weighted completion time, under identical and related machine models with job precedence constraints. We give algorithms that improve upon many previous 15 to 20-year-old state-of-art results. A major theme in these results is the use of time-indexed linear programming relaxations. These are natural relaxations for their respective problems, but surprisingly are not studied in the literature. We also consider the scheduling problem of minimizing total weighted completion time on unrelated machines. The recent breakthrough result of [Bansal-Srinivasan-Svensson, STOC 2016] gave a $(1.5-c)$-approximation for the problem, based on some lift-and-project SDP relaxation. Our main result is that a $(1.5 - c)$-approximation can also be achieved using a natural and considerably simpler time-indexed LP relaxation for the problem. We hope this relaxation can provide new insights into the problem

Формалізація і розв’язання задач оптимального планування робіт за наявності різної продуктивності пристроїв

Магістерська дисертація: 107 с., 12 рис., 10 табл., 7 додатків, 82 джерела. Актуальність. Планування виконання командою наявних завдань є важливим процесом в багатьох галузях, наприклад, у розробці програмного забезпечення. На сьогодні спостерігається зростання популярності покрокового (ітеративного) підходу до виконання робіт у різних сферах нашого життя. Скрам є одним із найбільш поширених гнучких підходів на сьогоднішній день. Ідея методології Скрам полягає у роботі за ітераціями, тобто за деякими фіксованими проміжками часу. У Скрамі ітерації називаються Спринтами. Для ітерації необхідно підібрати набір завдань, які може виконати за цей проміжок часу команда, причому саме такий набір, який принесе найбільшу цінність продуктові, що розробляється. Але обговорення завдань та вирішення, які саме завдання можна взяти на виконання з урахуванням різної продуктивності та досвідченості виконавців, є складним процесом, який займає досить багато часу. Саме тому актуальним є дослідження проблеми оптимального планування виконання завдань, формальна постановка якої призводить до складних оптимізаційних задач. В свою чергу це потребує розробки наближених алгоритмів розв’язування задачі виконання завдань виконавцями з різною для досягнення найбільшої сумарної цінності виконаної роботи. Враховуючи наявну в теорії складання розкладів термінологію та специфіку задачі, вживатимемо терміни “пристрої” та “виконавці” як взаємозамінні. Мета дослідження – підвищення ефективності виконання завдань декількома виконавцями (пристроями) з різною продуктивністю за рахунок зменшення витрат часу на планування їх виконання. Для досягнення мети необхідно виконати наступні завдання: - виконати огляд відомих результатів з поставленої задачі; - виконати формалізацію задачі планування роботи із врахуванням різної продуктивності пристроїв; - розробити наближені алгоритми для розв’язування поставленої задачі; 4 - розробити програмну реалізацію алгоритмів та моделей; - виконати аналіз отриманих результатів. Об’єкт дослідження – процес планування виконання завдань пристроями з різною продуктивністю. Предмет дослідження – методи планування виконання завдань пристроями з різною продуктивністю. Наукова новизна отриманих результатів полягає у формалізації задачі планування роботи на ітерацію у методології Скрам як задачі оптимального планування робіт за наявності різної продуктивності пристроїв; розробці алгоритму для її розв’язування шляхом розбиття на підзадачі; розробці жадібного алгоритму знаходження початкового розв’язку другої підзадачі, процедури генерації точок околу в просторі розв’язків та розробці алгоритмів на основі схеми алгоритмів локального пошуку. Публікації. Матеріали роботи опубліковані у міжнародному журналі «Науковий огляд», №3, 2018 [1, 2]. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у філії кафедри автоматизованих систем обробки інформації та управління Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут ім. Ігоря Сікорського» в рамках науково-дослідної теми Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України: «Розробити математичний апарат, орієнтований на створення інтелектуальних інформаційних технологій розв’язування проблем комбінаторної оптимізації та інформаційної безпеки» (шифр теми: ВФ.180.11).Master’s thesis: 107 pages, 12 figures, 10 tables, 7 appendix, 82 references. Relevance. Tasks scheduling for a team is an important process in many spheres like software development. Nowadays the iterative approach to work is gaining more and more recognition in different spheres. Scrum is one of the most used agile approaches today. The main idea of Scrum is splitting the work into iterations, where iterations are time spans of fixed length. In Scrum, these iterations are called Sprints. For each iteration, it is necessary to choose such a subset of tasks for the team that the work’s result will have the biggest possible value for the product. But tasks discussion and making decisions about which tasks to include in the current iteration in accordance with the different productivity and experience of team members is a sophisticated process that takes a lot of time. That’s why the research of the optimal scheduling problem formal model of which results in difficult optimization problems is relevant. That requires development of approximate algorithms for solving the scheduling problem with performers having different productivity with the goal of maximizing the work’s result value. Taking into account the terminology of scheduling problems sphere and the problem’s specifics we will use the terms “performer” and “machine” as synonyms. Purpose and objectives of the study. Increasing the effectiveness of tasks finishing by several unrelated performers(machines) by reducing the time spent on the planning of work. To achieve this purpose it is needed to complete these tasks: - perform a review of the known results for the problem that is considered; - perform formalization of the optimal scheduling problem for the unrelated machines; - develop approximate algorithms for solving the problem considered; - develop a software implementation of the algorithms and models; - perform the analysis of the results. 6 The object of study is the scheduling process for the unrelated machines with different productivity. The subject of study are scheduling methods for the unrelated machines with different productivity. Scientific novelty of the results. Formalization of the Sprint planning problem as a scheduling problem for machines with different productivity is performed, an approach to solving this problem based on splitting the problem into two subproblems is suggested; a greedy algorithm, local search algorithms and neighborhood generation procedure for the second subproblem are developed. Publications. Materials were published in the international journal “Naukoviy ohlyad”, №3, 2018 [1, 2]. Connection of the thesis with scientific programs, plans, topics. The thesis was written at the branch of The Department of Department of Computer-aided management and data processing systems of the National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute” at the V. M. Glushkov Institute of Cybernetics of the National Academy of Sciences of Ukraine under the topic “To develop a mathematical apparatus focused on the creation of intelligent information technologies for solving combinatorial optimization and information security problems”(the topic’s index is ВФ.180.11)