4 research outputs found
Report on "Geometry and representation theory of tensors for computer science, statistics and other areas."
This is a technical report on the proceedings of the workshop held July 21 to
July 25, 2008 at the American Institute of Mathematics, Palo Alto, California,
organized by Joseph Landsberg, Lek-Heng Lim, Jason Morton, and Jerzy Weyman. We
include a list of open problems coming from applications in 4 different areas:
signal processing, the Mulmuley-Sohoni approach to P vs. NP, matchgates and
holographic algorithms, and entanglement and quantum information theory. We
emphasize the interactions between geometry and representation theory and these
applied areas
Complexity dichotomies for approximations of counting problems
Αυτή η διπλωματική αποτελεί μια επισκόπηση θεωρημάτων διχοτομίας για
υπολογιστικά προβλήματα, και ειδικότερα προβλήματα μέτρησης. Θεώρημα διχοτομίας
στην υπολογιστική πολυπλοκότητα είναι ένας πλήρης χαρασκτηρισμός των μελών μιας
κλάσης προβλημάτων, σε υπολογιστικά δύσκολα και υπολογιστικά εύκολα, χωρίς να
υπάρχουν προβλήματα ενδιάμεσης πολυπλοκότητας στην κλάση αυτή. Λόγω του
θεωρήματος του Ladner, δεν μπορούμε να έχουμε διχοτομία για ολόκληρες τις
κλάσεις NP και #P, παρόλα αυτά υπάρχουν μεγάλες υποκλάσεις της NP (#P) για τις
οποίες ισχύουν θεωρήματα διχοτομίας.
Συνεχίζουμε με την εκδοχή απόφασης του προβλήματος ικανοποίησης περιορισμών
(CSP), μία κλάση προβλήμάτων της NP στην οποία δεν εφαρμόζεται το θεώρημα του
Ladner. Δείχνουμε τα θεωρήματα διχοτομίας που υπάρχουν για ειδικές περιπτώσεις
του CSP. Στη συνέχεια επικεντρωνόμαστε στα προβλήματα μέτρησης παρουσιάζοντας
τα παρακάτω μοντέλα: Ομομορφισμοί γράφων, μετρητικό πρόβλημα ικανοποίησης
περιορισμών (#CSP), και προβλήματα Holant. Αναφέρουμε τα θεωρήματα διχοτομίας
που γνωρίζουμε γι' αυτά.
Στο τελευταίο και κύριο κεφάλαιο, χαλαρώνουμε την απαίτηση ακριβών υπολογισμών,
και αρκούμαστε στην προσέγγιση των προβλημάτων. Παρουσιάζουμε τα μέχρι σήμερα
γνωστά θεωρήματα κατάταξης για το #CSP. Πολλά ερωτήματα στην περιοχή παραμένουν
ανοιχτά.
Το παράρτημα είναι μια εισαγωγή στους ολογραφικούς αλγορίθμους, μία πρόσφατη
αλγοριθμική τεχνική για την εύρεση πολυωνυμικών αλγορίθμων (ακριβείς
υπολογισμοί) σε προβλήματα μέτρησης.This thesis is a survey of dichotomy theorems for computational problems,
focusing in counting problems. A dichotomy theorem in computational
complexity, is a complete classification of the members of a class of problems,
in computationally easy and computationally hard, with the set of problems of
intermediate
complexity being empty. Due to Ladner's theorem we cannot find a dichotomy
theorem for the whole classes NP and #P, however there are large subclasses of
NP (#P),
that model many "natural" problems, for which dichotomy theorems exist.
We continue with the decision version of constraint satisfaction problems
(CSP), a class of problems in NP, for which Ladner's theorem doesn't apply. We
obtain a
dichotomy theorem for some special cases of CSP. We then focus on counting
problems presenting the following frameworks: graph homomorphisms, counting
constraint
satisfaction (#CSP) and Holant problems; we provide the known dichotomies for
these frameworks.
In the last and main chapter of this thesis we relax the requirement of exact
computation, and settle in approximating the problems. We present the known
cassification theorems
for cases of #CSP. Many questions in terms of approximate counting problems
remain open.
The appendix introduces a recent technique for obtaining exact polynomial-time
algorithms for counting problems, namely the holographic algorithms
Bases Collapse in Holographic Algorithms
Holographic algorithms are a novel approach to design polynomial time computations using linear superpositions. Most holographic algorithms are designed with basis vectors of dimension 2. Recently Valiant showed that a basis of dimension 4 can be used to solve in P an interesting (restrictive SAT) counting problem mod 7. This problem without modulo 7 is #P-complete, and counting mod 2 is NP-hard. We give a general collapse theorem for bases of dimension 4 to dimension 2 in the holographic algorithms framework. We also define an extension of holographic algorithms to allow more general support vectors. Finally we give a bases folding theorem showing that in a natural setting the support vectors can be simulated by basis of dimension 2.