Fatou's Lemma for Weakly Converging Probabilities

Fatou's lemma states under appropriate conditions that the integral of the lower limit of a sequence of functions is not greater than the lower limit of the integrals. This note describes similar inequalities when, instead of a single measure, the functions are integrated with respect to different measures that form a weakly convergent sequence

Average optimality for continuous-time Markov decision processes under weak continuity conditions

This article considers the average optimality for a continuous-time Markov decision process with Borel state and action spaces and an arbitrarily unbounded nonnegative cost rate. The existence of a deterministic stationary optimal policy is proved under a different and general set of conditions as compared to the previous literature; the controlled process can be explosive, the transition rates can be arbitrarily unbounded and are weakly continuous, the multifunction defining the admissible action spaces can be neither compact-valued nor upper semi-continuous, and the cost rate is not necessarily inf-compact

Дифференциальные игры преследования с функционалом качества и их применение в задачах динамического распределения ресурсов

Розв’язано нові класи диференціальних ігор переслідування-ухилення з фазовими обмеженнями, термінальними множиною та функціоналом, фіксованим часом закінчення гри на декартовому добутку множини замкнутих підмножин евклідового простору та множини неперервних функцій. За допомогою нових диференціально-операторних конструкцій винайдено загальний підхід до побудови оптимальних стратегій кожного із гравців. Одержано нові властивості Н-опуклих та матрично-опуклих множин, матрично-опуклих та квазіопуклих функціоналів, розроблено нові методи побудови оптимальних контрстратегій переслідувача для загальних класів лінійних диференціальних ігор. Побудовано напівгрупи операторів (які, в загальному випадку, залежать від пари множини та функції) для диференціальних ігор з можливими виходами траєкторій динамічної системи на термінальну множину в необмежений заздалегідь момент часу. Для опису структури диференціальних ігор та для побудови оптимальних стратегій гравців створено та впроваджено новий математичний операторний апарат матрично опуклих множин і квазіопуклих функцій. На основі розробленої теорії напівгруп операторів винайдено новий підхід до побудови стратегій Б.М. Пшеничного для таких задач. Розроблено нові ефективні методи розв‘язання задач наближення-ухилення спеціального вигляду з нефіксованими часом закінчення гри. Обґрунтовано нові алгоритми пошуку оптимальних контрстратегій. Розроблено нові математичні моделі та методи більш ефективного динамічного розподілу ресурсів із застосуванням теорії диференціальних ігор з термінальними множиною та функціоналом. Розв’язано актуальні задачі керування потоками в мережах за неповної інформації. Вперше розв’язана оптимізаційна задача руху потоків, які задовольняють узагальненим законам Кірхгофа. Результати застосовано до класів задач конструктивного розподілу гідроресурсів у зрошувальних системах мережевої структури. Окремо розглянуто випадки постачання суміші (води з різних джерел, газу з різних родовищ) різної якості. Побудовано нові математичні моделі, методи та алгоритми розв’язання задач доставки суміші речовини вздовж мережі у певних пропорціях або з заданими кількісними обмеженнями. Одержані узагальнення вперше дозволили розв’язати задачі розрахунку різнотипових глобальних розподільчих мереж та трубопроводів.The new classes of differential games pursuit-evasion with the phase constraints, the terminal set and functionality, the fixed time of the game end on the Cartesian product of the set of closed subsets of the Euclidean space and set of continuous functions are solved. With the help of new differential-operator constructions, a general approach to the construction of optimal strategies of each of the players is invented. The new properties of H-convex and matrix-convex sets, matrix-convex and quasi-convex functionals are obtained, the new methods of constructing the optimal counterstrategies of pursuer for the general classes of linear differential games are developed. Semigroups of operators (which, in general, dependent on a pair of sets and functions) are built for differential games with the possible outputs of the trajectories of a dynamic system to the terminal set at unlimited time in advance. To describe the structure of differential games and for constructing the optimal strategies of the players a new mathematical operator apparatus of matrix-convex sets and quasi-convex functions was created and implemented. On the basis of the developed theory of semigroups of operators a new approach to building strategies of B.M. Pshenichniy for such problems is invented. The new effective methods for solving the problem approximation-evasion of a special type with non-fixed time of ending the game are developed. The new algorithms for finding the optimal counterstrategies are validated. The new mathematical models and methods of more effective dynamic resource distribution using the theory of differential games with a terminal set and functionality are developed. The urgent problems of flows control in networks with incomplete information are solved. For the first time the optimization problem of flows traffic is solved, and its solution satisfies the generalized Kirchhoff's laws. The results are applied to the classes of problems of a constructive distribution of hydro resources in irrigation systems of the network structure. The cases of the mixture support (water, gas deposits from various sources) with different quality are considered separately. The new mathematical models, methods and algorithms of solving tasks of delivery of the mixture of substance along the network in certain proportions or with specified quantitative limitations are created. The obtained generalizations for the first time allowed to solve the problem of calculating the diverse global distribution networks and pipelines.Решены новые классы дифференциальных игр преследования-уклонения с фазовыми ограничениями, терминальными множеством и функционалом, фиксированным временем окончания игры на декартовом произведении множества замкнутых подмножеств евклидова пространства и множества непрерывных функций. С помощью новых дифференциально-операторных конструкций найден общий подход к построению оптимальных стратегий каждого из игроков. Получены новые свойства Н- выпуклых и матрично-выпуклых множеств, матрично-выпуклых и квазивыпуклых функционалов, разработаны новые методы построения оптимальных контрстратегий преследователя для общих классов линейных дифференциальных игр. Построены полугруппы операторов (которые, в общем случае, зависят от пары множества и функции) для дифференциальных игр с возможными выходами траекторий динамической системы на терминальное множество в неограниченный заранее момент времени. Для описания структуры дифференциальных игр и для построения оптимальных стратегий игроков создан и внедрен новый математический операторный аппарат матрично выпуклых множеств и квазивыпуклых функций. На основе разработанной теории полугрупп операторов предложен новый подход к построению стратегий Б.М. Пшеничного для таких задач. Разработаны новые методы решения задач приближения-уклонения специального вида с нефиксированным временем окончания игры. Обоснованы новые алгоритмы поиска оптимальных контрстратегий. Разработаны новые математические модели и методы более эффективного динамического распределения ресурсов с применением теории дифференциальных игр с терминальными множеством и функционалом. Решены актуальные задачи управления потоками в сетях с неполной информацией. Впервые решена оптимизационная задача движения потоков, которые удовлетворяют обобщенным законам Кирхгофа. Результаты применены к классам задач конструктивного распределения гидроресурсов в оросительных системах сетевой структуры. Отдельно рассмотрены случаи поставки смеси (воды из разных источников, газа из разных месторождений) разного качества. Построены новые математические модели, методы и алгоритмы решения задач доставки смеси вещества вдоль сети в определенных пропорциях или с заданными количественными ограничениями. Полученные обобщения впервые позволили решить задачи расчета разнотипных глобальных распределительных сетей и трубопроводов