Asymptotic stability of a jump-diffusion equation and its numerical approximation

Asymptotic linear stability is studied for stochastic dierential equations (SDEs) that incorporate Poisson-driven jumps and their numerical simulation using theta-method discretisations. The property is shown to have a simple explicit characterisation for the SDE, whereas for the discretisation a condition is found that is amenable to numerical evaluation. This allows us to evaluate the asymptotic stability behaviour of the methods. One surprising observation is that there exist problem parameters for which an explicit, forward Euler method has better stability properties than its trapezoidal and backward Euler counterparts. Other computational experiments indicate that all theta methods reproduce the correct asymptotic linear stability for suffciently small step sizes. By using a recent result of Appleby, Berkolaiko and Rodkina, we give a rigorous verication that both linear stability and instability are reproduced for small step sizes. This property is known not to hold for general, nonlinear problems

Coarse Graining of Agent-Based Models and Spatio-Temporal Modeling of Spreading Processes

Agent-based models play a central role in modeling social spreading processes, in part because they allow detailed representation of interactions between individuals while integrating data on real-world processes. However, the resulting models are often too complex for a formal analysis and usually require high simulation e ort. In this thesis, based on general remarks on theoretical concepts such as stochastic dynamics and Markov processes, we have rst presented some new theoretical results on the e cient simulation and model reduction of agent-based models. Among these results are an event-based simulation algorithm for ABMs and a model reduction approach based on a projection of the state space and the utilization of convergence results to approximate agent-based models by less complex metapopulation models that can be simulated with much less e ort. Assuming metastability of the agent system, this approach preserves important model characteristics whith a low approximation error. In relation to this background a number of applications of agent-based models have been discussed. Of these, some are of fundamental structure, including a model to achieve global goals with local information, and others concern concrete spreading processes in prehistoric and contemporary societies. A focus among the applications is the spreading and development of culture and innovations in ancient times, both on a conceptual level and with reference to a concrete application case, the spread of the woolly sheep to Europe. In this context, the presented models have been developed through interdisciplinary cooperation and by taking into account archaeological, anthropological as well as geographical data in order to be able to depict the mobility and interactions of nomads, such as hunter-gatherers or shepherds, as realistically as possible. An important aspect that was discussed is the challenges posed by the prehistoric context, both in model parameterization and in validation and interpretation of the results. The comparison with current modeling scenarios is discussed with reference to the application area of epidemic spreading. Speci cally, the di erences in the assumptions about agent mobility and in the availability and reproducibility of data relevant to the model construction and analysis are highlighted. In the analysis of the models, we focused in particular on the identi cation of metastable processes through the application of clustering methods, including a novel approach that exploits the speci c structure of the agent-based models we have presented. Based on this analysis, possibilities for model reduction were discussed, which allow to generate additional data on macroscopic properties and mesoscopic structures of the models with low e ort. Especially, the generation of relevant statistics about critical transitions and other rare events is enabled by the reduced model complexity.Agentenbasierte Modelle spielen bei der Modellierung sozialer Ausbreitungsprozesse eine zentrale Rolle, da sie unter anderem die Interaktionen zwischen Individuen detailliert abbilden und Daten über reale Prozesse integrieren können. Die resultierenden Modelle sind jedoch häufig zu komplex für eine formale Analyse und in der Regel mit einem hohen Simulationsaufwand verbunden. In dieser Arbeit werden zunächst, aufbauend auf allgemeinen Ausführungen zu theoretischen Konzepten wie stochastischer Dynamik und Markov-Prozessen, einige neue theoretische Ergebnisse zur Simulation und Modellreduktion von agentenbasierten Modellen vorgestellt. Hervorzuheben ist dabei ein auf einer Zustandsraumprojektion basierender Ansatz zur Approximation agentenbasierter Modelle durch weniger komplexe Metapopulationsmodelle, die mit deutlich geringerem Aufwand simuliert werden können. Unter der Voraussetzung der Metastabilität bleiben dabei wichtige Modelleigenschaften bei geringem Approximationsfehler erhalten. In diesem Zusammenhang und im Anschluss daran werden eine Reihe von Anwendungen agentenbasierter Modelle diskutiert. Einige davon sind grundlegender Natur, darunter ein Modell zur Erreichung globaler Ziele mit lokalen Informationen, andere betreffen konkrete Ausbreitungsprozesse in prähistorischen und zeitgenössischen Gesellschaften. Ein Schwerpunkt unter den Anwendungsbereichen ist die Ausbreitung und Entwicklung von Kultur und Innovationen in der Antike, sowohl auf konzeptioneller Ebene als auch in Bezug auf einen konkreten Anwendungsfall, die Ausbreitung des Wollschafs nach Europa. Dabei wurden die vorgestellten Modelle in interdisziplinärer Kooperation und unter Berücksichtigung archäologischer, anthropologischer und geographischer Daten entwickelt, um die Mobilität und Interaktionen von Nomaden wie Jägern und Sammlern oder Hirten möglichst realitätsnah abbilden zu können. Ein wichtiger Aspekt, der diskutiert wird, sind die Herausforderungen, die sich aus dem prähistorischen Kontext sowohl für die Modellparametrisierung als auch für die Validierung und Interpretation der Ergebnisse ergeben. Der Vergleich mit aktuellen Modellierungsszenarien wird in Bezug auf das Anwendungsgebiet der Infektionsausbreitung diskutiert. Dabei werden insbesondere die Unterschiede in den Annahmen zur Mobilität der Agenten und in der Verfügbarkeit und Reproduzierbarkeit der für die Modellkonstruktion und -analyse relevanten Daten hervorgehoben. Bei der Analyse der Modelle liegt ein besonderer Schwerpunkt auf der Identifikation metastabiler Prozesse durch die Anwendung von Clusterverfahren, einschließlich eines neuartigen Ansatzes, der die besondere Struktur agentenbasierter Modelle ausnutzt. Darauf aufbauend werden Möglichkeiten der Modellreduktion diskutiert, die es erlauben, mit geringem Aufwand zusätzliche Daten über makroskopische Eigenschaften und mesoskopische Strukturen der Modelle zu erzeugen. Insbesondere die Generierung relevanter Statistiken über kritische Übergänge und andere seltene Ereignisse wird durch die geringere Modellkomplexität erst ermöglicht