Система массового обслуживания с разделением процессора, повторными вызовами и нетерпеливостью запросов

Objectives. The problem of constructing and investigating a mathematical model of a stochastic system with processor sharing, repeated calls, and customer impatience is considered. This system is formalized in the form of a queueing system. The operation of the queue is described in terms of multi-dimensional Markov chain. A condition for the existence of a stationary distribution is found, and algorithms for calculating the stationary distribution and stationary performance characteristics of the system are proposed.Methods. Methods of probability theory, queueing theory and matrix theory are used.Results. The steady state operation of a queueing system with repeated calls, processor sharing and two types of customers arriving in a marked Markovian arrival process is studied. The channel bandwidth is divided between two types of customers in a certain proportion, and the number of customers of each type simultaneously located on the server is limited. Customers of one of the types that have made all the channels assigned to them busy leave the system unserved with some probability and, with an additional probability, go to the orbit of infinite size, from where they make attempts to get service at random time intervals. Customers of the second type, which caused all the channels assigned to them to be busy, are lost. Customers in orbit show impatience: each of them can leave orbit forever if the time of its stay in orbit exceeds some random time distributed according to an exponential law. Service times of customers of different types are distributed according to the phase law with different parameters. The operation of the system is described in terms of a multi-dimensional Markov chain. It is proved that for any values of the system parameters this chain has a stationary distribution. Algorithms for calculating the stationary distribution and a number of performance measures of the system are proposed. The results of the study can be used to simulate the operation of a fixed capacity cell in a wireless cellular communication network and other real systems operating in the processor sharing mode.Цели. Рассматривается задача построения и исследования математической модели стохастической системы с разделением процессора, повторными вызовами и нетерпеливостью запросов. Данная система формализована в виде системы массового обслуживания, построен процесс функционирования системы, найдено условие существования стационарного распределения и предложены алгоритмы вычисления стационарного распределения и стационарных характеристик производительности системы.Методы. Используются методы теории вероятностей, теории массового обслуживания и теории матриц.Результаты. Функционирование системы описано в терминах многомерной цепи Маркова. Показано, что эта цепь имеет стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, при любых приемлемых значениях параметров, описывающих входной поток, время обслуживания, процесс повторных вызовов и процесс ухода запросов из системы вследствие нетерпеливости.Заключение. Исследован стационарный режим функционирования системы массового обслуживания с повторными вызовами, разделением процессора и двумя типами запросов, поступающих в систему в соответствии с маркированным марковским потоком. Пропускная способность канала делится между запросами двух типов в некоторой пропорции, а число запросов каждого из типов, одновременно находящихся на приборе, ограничено. Запросы одного из типов, заставшие все отведенные для них каналы занятыми, с некоторой вероятностью уходят из системы необслуженными и с дополнительной вероятностью идут на орбиту бесконечного объема, откуда делают попытки попасть на обслуживание через случайные промежутки времени. Запросы второго типа, заставшие все отведенные для них каналы занятыми, теряются. Запросы, находящиеся на орбите, проявляют нетерпеливость: каждый из них может покинуть орбиту навсегда по истечении экспоненциально распределенного времени при условии, что он не попадет на обслуживание за это время. Времена обслуживания запросов распределены по фазовому закону с разными параметрами. Функционирование системы описано в терминах многомерной цепи Маркова. Доказано, что при любых значениях параметров системы эта цепь имеет стационарное распределение. Предложены алгоритмы вычисления стационарного распределения и ряда характеристик производительности системы. Результаты исследования могут быть использованы для моделирования работы соты фиксированной емкости в беспроводной сотовой сети связи и других реальных систем, функционирующих в режиме разделения процессора

Analysis of a retrial queue with limited processor sharing operating in the random environment

Queueing system with limited processor sharing, which operates in the Markovian random environment, is considered. Parameters of the system (pattern of the arrival rate, capacity of the server, i.e., the number of customers than can share the server simultaneously, the service intensity, the impatience rate, etc.) depend on the state of the random environment. Customers arriving when the server capacity is exhausted join orbit and retry for service later. The stationary distribution of the system states (including the number of customers in orbit and in service) is computed and expressions for the key performance measures of the system are derived. Numerical example illustrates possibility of optimal adjustment of the server capacity to the state of the random environment. © IFIP International Federation for Information Processing 2017

Analysis of a retrial queue with limited processor sharing operating in the random environment

Queueing system with limited processor sharing, which operates in the Markovian random environment, is considered. Parameters of the system (pattern of the arrival rate, capacity of the server, i.e., the number of customers than can share the server simultaneously, the service intensity, the impatience rate, etc.) depend on the state of the random environment. Customers arriving when the server capacity is exhausted join orbit and retry for service later. The stationary distribution of the system states (including the number of customers in orbit and in service) is computed and expressions for the key performance measures of the system are derived. Numerical example illustrates possibility of optimal adjustment of the server capacity to the state of the random environment. © IFIP International Federation for Information Processing 2017