Formulations and algorithms for the maximum area poligonization problem

Orientador: Fábio Luiz UsbertiDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: O problema do caixeiro viajante euclidiano (Traveling Salesman Problem - TSP) do ponto de vista geométrico tem por objetivo encontrar um polígono simples sobre um dado conjunto de vértices cujo perímetro é mínimo. É possível derivar o problema de modo que o objetivo seja encontrar um polígono simples cuja área interna seja máxima: tal problema é conhecido como Poligonização de Área Máxima (Maximum Area Polygonization - MAXAP). O MAXAP é um problema de otimização combinatória NP-difícil com aplicações práticas em segmentos como reconhecimento de padrões, reconstrução de imagens, clusterização e robótica. Este trabalho propõe novas metodologias de solução e formulações matemáticas para o MAXAP, visando a implementação de algoritmos para metodologias exata, aproximada e heurística, bem como um estudo computacional para avaliar o desempenho das metodologias para o conjunto de instâncias desenvolvido. São propostos neste trabalho dois modelos matemáticos de programação linear inteira, duas heurísticas construtivas, uma metaheurística GRASP e uma matheuristic aplicada sobre um dos modelos matemáticos. Experimentos computacionais foram executados para comparar as metodologias propostas entre si e com um algoritmo 1/2-aproximado da literatura. Análises comparativas de desempenho foram realizadas sobre os resultados obtidos mostrando que o GRASP obteve o melhor desempenho no critério de qualidade das soluções. As heurísticas construtivas propostas por sua vez obtiveram um desempenho superior sobre o algoritmo aproximado. Finalmente, os modelos matemáticos propostos mostram a dificuldade de resolver de maneira exata o MAXAP, encontrando soluções ótimas em uma hora somente para as instâncias de 10 pontos, em um conjunto de instâncias de até 100 pontosAbstract: The Traveling Salesman Problem (TSP) from a geometric point of view aims to find a simple polygon with minimum perimeter. It is possible to derive the problem so that the objective is to find a simple polygon whose enclosed area is maximum, such problem is known as Maximum Area Polygonization (MAXAP). The MAXAP is an NP-hard combinatorial optimization problem with practical applications in segments such as pattern recognition, image reconstruction, clustering and robotics. This work proposes new solution methodologies and mathematical formulations for MAXAP, aiming the implementation of algorithms for exact, approximate and heuristic solutions, as well as a computational study to evaluate the performance of the methodologies for a benchmark set of instances. Two mathematical models based on integer linear programming are proposed. In addition, two constructive heuristics, a GRASP metaheuristic, and a matheuristic are proposed for the solution of larger instances. Computacional experiments were conducted to compare the proposed methodologies among themselves and a 1/2-approximation algorithm from literature. Comparative perfomance analysis were made on the results showing that the GRASP outperformed all other approaches with respect to solution quality. The constructive heuristics, on the other hand, outperformed the literature 1/2-approximation algorithm. Finally, the proposed mathematical models have shown the hardness of exact solution for the MAXAP, finding optimal solutions in one hour only for the 10-vertices instances in a set of instances with 10, 25, 50 and 100 verticesMestradoCiência da ComputaçãoMestre em Ciência da ComputaçãoCAPE