Sorting signed permutations by short operations

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Background: During evolution, global mutations may alter the order and the orientation of the genes in a genome. Such mutations are referred to as rearrangement events, or simply operations. In unichromosomal genomes, the most common operations are reversals, which are responsible for reversing the order and orientation of a sequence of genes, and transpositions, which are responsible for switching the location of two contiguous portions of a genome. The problem of computing the minimum sequence of operations that transforms one genome into another - which is equivalent to the problem of sorting a permutation into the identity permutation - is a well-studied problem that finds application in comparative genomics. There are a number of works concerning this problem in the literature, but they generally do not take into account the length of the operations (i.e. the number of genes affected by the operations). Since it has been observed that short operations are prevalent in the evolution of some species, algorithms that efficiently solve this problem in the special case of short operations are of interest. Results: In this paper, we investigate the problem of sorting a signed permutation by short operations. More precisely, we study four flavors of this problem: (i) the problem of sorting a signed permutation by reversals of length at most 2; (ii) the problem of sorting a signed permutation by reversals of length at most 3; (iii) the problem of sorting a signed permutation by reversals and transpositions of length at most 2; and (iv) the problem of sorting a signed permutation by reversals and transpositions of length at most 3. We present polynomial-time solutions for problems (i) and (iii), a 5-approximation for problem (ii), and a 3-approximation for problem (iv). Moreover, we show that the expected approximation ratio of the 5-approximation algorithm is not greater than 3 for random signed permutations with more than 12 elements. Finally, we present experimental results that show that the approximation ratios of the approximation algorithms cannot be smaller than 3. In particular, this means that the approximation ratio of the 3-approximation algorithm is tight.During evolution, global mutations may alter the order and the orientation of the genes in a genome. Such mutations are referred to as rearrangement events, or simply operations. In unichromosomal genomes, the most common operations are reversals, which a10117CAPES - COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIORFAPESP - FUNDAÇÃO DE AMPARO À PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULOCNPQ - CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICOCoordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)FAPESP [2014/04718-6]CNPq [303947/2008-0, 477692/2012-5]CNPq [477692/2012-5, 306730/2012-0, 483370/2013-4]FAPESP [2013/08293-7]SEM INFORMAÇÃO2014/04718-6; 2013/08293-7303947/2008-0; 477692/2012-5; 306730/2012-0; 477692/2012-5; 483370/2013-

O problema da ordenação de permutações usando rearranjos de prefixos e sufixos

Orientador: Zanoni DiasTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: O Problema das Panquecas tem como objetivo ordenar uma pilha de panquecas que possuem tamanhos distintos realizando o menor número possível de operações. A operação permitida é chamada reversão de prefixo e, quando aplicada, inverte o topo da pilha de panquecas. Tal problema é interessante do ponto de vista combinatório por si só, mas ele também possui algumas aplicações em biologia computacional. Dados dois genomas que compartilham o mesmo número de genes, e assumindo que cada gene aparece apenas uma vez por genoma, podemos representá-los como permutações (pilhas de panquecas também são representadas por permutações). Então, podemos comparar os genomas tentando descobrir como um foi transformado no outro por meio da aplicação de rearranjos de genoma, que são eventos de mutação de grande escala. Reversões e transposições são os tipos mais comumente estudados de rearranjo de genomas e uma reversão de prefixo (ou transposição de prefixo) é um tipo de reversão (ou transposição) que é restrita ao início da permutação. Quando o rearranjo é restrito ao final da permutação, dizemos que ele é um rearranjo de sufixo. Um problema de ordenação de permutações por rearranjos é, portanto, o problema de encontrar uma sequência de rearranjos de custo mínimo que ordene a permutação dada. A abordagem tradicional considera que todos os rearranjos têm o mesmo custo unitário, de forma que o objetivo é tentar encontrar o menor número de rearranjos necessários para ordenar a permutação. Vários esforços foram feitos nos últimos anos considerando essa abordagem. Por outro lado, um rearranjo muito longo (que na verdade é uma mutação) tem mais probabilidade de perturbar o organismo. Portanto, pesos baseados no comprimento do segmento envolvido podem ter um papel importante no processo evolutivo. Dizemos que essa abordagem é ponderada por comprimento e o objetivo nela é tentar encontrar uma sequência de rearranjos cujo custo total (que é a soma do custo de cada rearranjo, que por sua vez depende de seu comprimento) seja mínimo. Nessa tese nós apresentamos os primeiros resultados que envolvem problemas de ordenação de permutações por reversões e transposições de prefixo e sufixo considerando ambas abordagens tradicional e ponderada por comprimento. Na abordagem tradicional, consideramos um total de 10 problemas e desenvolvemos novos resultados para 6 deles. Na abordagem ponderada por comprimento, consideramos um total de 13 problemas e desenvolvemos novos resultados para todos elesAbstract: The goal of the Pancake Flipping problem is to sort a stack of pancakes that have different sizes by performing as few operations as possible. The operation allowed is called prefix reversal and, when applied, flips the top of the stack of pancakes. Such problem is an interesting combinatorial problem by itself, but it has some applications in computational biology. Given two genomes that share the same genes and assuming that each gene appears only once per genome, we can represent them as permutations (stacks of pancakes are also represented by permutations). Then, we can compare the genomes by figuring out how one was transformed into the other through the application of genome rearrangements, which are large scale mutations. Reversals and transpositions are the most commonly studied types of genome rearrangements and a prefix reversal (or prefix transposition) is a type of reversal (or transposition) which is restricted to the beginning of the permutation. When the rearrangement is restricted to the end of the permutation, we say it is a suffix rearrangement. A problem of sorting permutations by rearrangements is, therefore, the problem to find a sequence of rearrangements with minimum cost that sorts a given permutation. The traditional approach considers that all rearrangements have the same unitary cost, in which case the goal is trying to find the minimum number of rearrangements that are needed to sort the permutation. Numerous efforts have been made over the past years regarding this approach. On the other hand, a long rearrangement (which is in fact a mutation) is more likely to disturb the organism. Therefore, weights based on the length of the segment involved may have an important role in the evolutionary process. We say this is the length-weighted approach and the goal is trying to find a sequence of rearrangements whose total cost (the sum of the cost of each rearrangement, which depends on its length) is minimum. In this thesis we present the first results regarding problems of sorting permutations by prefix and suffix reversals and transpositions considering both the traditional and the length-weighted approach. For the traditional approach, we considered a total of 10 problems and developed new results for 6 of them. For the length-weighted approach, we considered a total of 13 problems and developed new results for all of themDoutoradoCiência da ComputaçãoDoutora em Ciência da Computação140017/2013-52013/01172-0FAPESPCNP

An audit tool for genome rearrangement algorithms

Orientador: Zanoni DiasDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: Ao longo da evolução, mutações globais podem alterar a ordem dos genes de um genoma. Tais mutações são chamadas de eventos de rearranjo. Em Rearranjo de Genomas, estimamos a distância evolutiva entre dois genomas calculando-se a distância de rearranjo entre eles, que é o tamanho da menor sequência de eventos de rearranjo que transforma um genoma no outro. Representando genomas como permutações, nas quais os genes aparecem como elemento, à distância de rearranjo pode ser obtido resolvendo-se o problema combinatório de ordenar uma permutação utilizando o menor número de eventos de rearranjo. Este problema, que é referido como Problema da Ordenação por Rearranjo, varia de acordo com os tipos de eventos de rearranjo considerados. Nesta dissertação, focamos nosso estudo em dois tipos de eventos: reversões e transposições. Variações do Problema da Ordenação por Rearranjo que consideram esses eventos têm se mostrado difíceis de ser resolvida otimamente, por isso a maior parte dos algoritmos propostos - os quais denominamos genericamente por algoritmos de rearranjo de genomas - são aproximados e é esperado que os próximos avanços ocorram nesse sentido. Em razão disso, desenvolvemos uma ferramenta que avalia as respostas desses algoritmos. Para ilustrar sua aplicação, nós a utilizamos para avaliar as respostas de 16 algoritmos de rearranjo de genomas aproximados relativos a 6 variações do Problema da Ordenação por Rearranjo. Além da ferramenta, este trabalho traz outras contribuições. Desenvolvemos um algoritmo exato para calcular distâncias de rearranjo que é mais eficiente em termos de uso de memória do que qualquer outro algoritmo que encontramos na literatura. Apresentamos conjecturas que dizem respeito à forma como as distâncias de rearranjo se distribuem. Validamos conjecturas referentes ao diâmetro, que é o maior valor alcançável pela distância de rearranjo entre uma permutação qualquer e a identidade considerando-se todas as permutações com o mesmo número de elementos. Apresentamos demonstrações formais para o fator de aproximação de alguns dos algoritmos avaliados. Por fim, mostramos que os fatores de aproximação de 7 dos 16 algoritmos avaliados não podem ser melhorados, o que contradiz algumas hipóteses levantadas na literatura, e conjecturamos que os fatores de aproximação de outros 6 algoritmos também não possamAbstract: During evolution, global mutations may modify the gene order in a genome and such mutations are called rearrangement events. In Genome Rearrangements, we estimate the evolutionary distance between two genomes by computing the rearrangement distance between them, which is the length of the shortest sequence of rearrangement events that transforms one genome into the other. Representing genomes as permutations, in which genes appear as elements, the rearrangement distance can be obtained by solving the combinatorial problem of sorting a permutation using a minimum number of rearrangement events. This problem is referred to as Rearrangement Sorting Problem and varies accordingly to the types of rearrangement events considered. In this dissertation, we focus on two types of rearrangement events: reversals and transpositions. Variants of Rearrangement Sorting Problem involving these events have been shown to be difficult to solve optimally, therefore most of the proposed algorithms - which we denominate generically as genome rearrangement algorithms - are approximations, which have been the expected direction to follow. For this reason, we developed a tool that evaluates the results of these algorithms. To illustrate its application, we used it to evaluate the results of 16 genome rearrangement algorithms regarding 6 variants of Rearrangement Sorting Problem. Besides this tool, we developed an exact algorithm for computing rearrangement distances that is more efficient in terms of memory than any algorithm we have found in literature. Additionally, we presented conjectures on how the rearrangement distance are distributed and validated them regarding their diameter, which is the greatest value that the rearrangement distance between a permutation and the identity can reach considering all permutations with the same number of elements. Moreover, we presented formal proofs on the approximation ratio of some of the evaluated algorithms and showed that the approximation ratio of 7 out of the 16 evaluated algorithms cannot be improved, which contradicts some hypothesis raised in literature. Lastly, we conjectured that the approximation ratio of another 6 algorithms also cannot be improvedMestradoCiência da ComputaçãoMestre em Ciência da Computaçã