Faulhaber's Theorem on Power Sums

We observe that the classical Faulhaber's theorem on sums of odd powers also holds for an arbitrary arithmetic progression, namely, the odd power sums of any arithmetic progression $a+b, a+2b, ..., a+nb$ is a polynomial in $na+n(n+1)b/2$. While this assertion can be deduced from the original Fauhalber's theorem, we give an alternative formula in terms of the Bernoulli polynomials. Moreover, by utilizing the central factorial numbers as in the approach of Knuth, we derive formulas for $r$-fold sums of powers without resorting to the notion of $r$-reflexive functions. We also provide formulas for the $r$-fold alternating sums of powers in terms of Euler polynomials.Comment: 12 pages, revised version, to appear in Discrete Mathematic

La politique étrangère du Saint-Siège face à l'Allemagne nationale-socialiste : rapport d'une passion ambivalente (1933-1938)

La présente thèse cherche à démontrer que la politique étrangère du Saint-Siège face à l'Allemagne nationale-socialiste peut être qualifiée de passionnément ambivalente. Cette ambivalence passionnée ne se traduit toutefois pas au plan concret, par une passivité de fait devant les initiatives de politique extérieure du régime hitlérien, envisagée ici comme le simple reflet de la passivité contemporaine générale. Qu'est-ce à dire exactement? Avant tout, nous définissons l'ambivalence passionnée du Saint-Siège dans ses rapports avec le Troisième Reich comme une détérioration fondamentale de sa volonté diplomatique institutionnelle dans la poursuite de ses fins politiques; ce caractère unit deux attitudes de sens contraires, l'acceptation collaboratrice et la résistance active, qui l'empêche de saisir le vrai même s'il contribue de manière accidentelle à son approche; plus philosophiquement, l'ambivalence passionnée, c'est la forme paradoxale du doute et de l'incertitude que toute existence, même institutionnelle, doit parvenir à assumer et transcender en vue de la prise de décision. Plus concrètement, nous situons l'origine de la détérioration fondamentale de la volonté diplomatique du Saint-Siège dans le dualisme (contradictoire?) de sa constitution institutionnelle unique d'organisme aux fins religieuses idéalistes mais aux pratiques politiques extrêmement réalistes. En l'occurrence, au sein de l'Église catholique, l'ambivalence passionnée se déclina, de 1933 à 1938, en de nombreux degrés intermédiaires variant, selon les circonstances, les personnes et les fonctions occupées, entre l'acceptation collaboratrice et la résistance active. Pour bien comprendre ce que nous voulons exprimer, il faut naturellement dépasser la logique historiquement réductrice et excessivement polarisatrice du balancier de la controverse qui se promène d'un extrême à l'autre en balayant tout sur son passage. Il convient au contraire de prendre de la hauteur, en même temps que de la sérénité scientifique, pour envisager les choses avec un regard neuf, en suivant une orientation plus lumineuse. En ce sens, l'image beaucoup plus féconde du spectre de la lumière vient immédiatement à l'esprit ouvert. Tout comme le prisme de verre sépare en arc-en-ciel, grâce à son réseau de réfraction, les sept couleurs contenues dans la lumière blanche du soleil, l'historien doit exercer son regard spectral pour repérer, expliquer et comprendre la diversité d'attitudes perceptibles au sein de l'institution ecclésiale catholique face au régime national-socialiste allemand