On the Derivative Imbalance and Ambiguity of Functions

In 2007, Carlet and Ding introduced two parameters, denoted by $Nb_F$ and $NB_F$, quantifying respectively the balancedness of general functions $F$ between finite Abelian groups and the (global) balancedness of their derivatives $D_a F(x)=F(x+a)-F(x)$, $a\in G\setminus\{0\}$ (providing an indicator of the nonlinearity of the functions). These authors studied the properties and cryptographic significance of these two measures. They provided for S-boxes inequalities relating the nonlinearity $\mathcal{NL}(F)$ to $NB_F$, and obtained in particular an upper bound on the nonlinearity which unifies Sidelnikov-Chabaud-Vaudenay's bound and the covering radius bound. At the Workshop WCC 2009 and in its postproceedings in 2011, a further study of these parameters was made; in particular, the first parameter was applied to the functions $F+L$ where $L$ is affine, providing more nonlinearity parameters. In 2010, motivated by the study of Costas arrays, two parameters called ambiguity and deficiency were introduced by Panario \emph{et al.} for permutations over finite Abelian groups to measure the injectivity and surjectivity of the derivatives respectively. These authors also studied some fundamental properties and cryptographic significance of these two measures. Further studies followed without that the second pair of parameters be compared to the first one. In the present paper, we observe that ambiguity is the same parameter as $NB_F$, up to additive and multiplicative constants (i.e. up to rescaling). We make the necessary work of comparison and unification of the results on $NB_F$, respectively on ambiguity, which have been obtained in the five papers devoted to these parameters. We generalize some known results to any Abelian groups and we more importantly derive many new results on these parameters

Busca de permutações APN criptográficas

Relatório técnico de pesquisa.O trabalho de pesquisa descrito neste relatório foi realizado em duas partes, no período entre jan/2016 e fev/2018, e trata de um estudo sobre permutações APN (importantes no projeto de cifradores simétricos) com o auxílio dos conceitos de ambiguidade e deficiência, desenvolvidos pelo Prof. Daniel Panario e seu grupo de pesquisa na Universidade de Carleton, em Ottawa, Canadá. A primeira parte deste estudo foi executada durante um pós-doutorado do autor no Canadá (entre jan/2016 e fev/2017) e consistiu em uma caracterização diferencial completa (incluindo espectro diferencial, ambiguidade e deficiência) de todos os polinômios de permutação sobre corpos finitos com baixo grau (grau até 6). Na segunda parte, executada de mar/2017 a fev/2018, no escopo de um projeto de pesquisa do departamento INE/UFSC, o objetivo foi realizar uma busca computacional por permutações APN definidas em anéis sobre inteiros. Esta parte envolveu implementações (em C/C++) de buscas exaustivas do tipo backtracking podadas com heurísticas específicas a fim de encontrar permutações APN (2-uniformes) sobre Z_2 x Z_16. Os melhores resultados obtidos nesta segunda parte consistiram em permutações 3-uniformes sobre Z_2 x Z_16. Note-se que isto corresponde a uma busca em um universo de busca de tamanho maior do que 2^{117}. Os melhores casos encontrados pelo backtracking (com a poda heurística) foram refinados com a aplicação de técnicas de busca do tipo Tabu search e Simulated Annealing. O melhor resultado obtido nesta segunda parte chegou muito perto de uma permutação APN (2-uniforme) e consistiu em uma permutação 3-uniforme sobre Z_2 x Z_16, mas com apenas 24 valores iguais a 3 no espectro diferencial (todos os outros 968 valores eram menores ou iguais a 2)

Ambiguity and deficiency in Costas arrays and APN permutations

We introduce the concepts of weighted ambiguity and deficiency for a mapping between two finite Abelian groups of the same size. Then we study the optimum lower bounds of these measures for a permutation of ℤn and give a construction of permutations meeting the lower bound by modifying some permutation polynomials over finite fields. These permutations are also APN permutations