"Algorithms for some Graph-Theoretical Optimization Problems".

Samenvatting Deze thesis situeert zich in het onderzoeksgebied van operationeel onder zoek. We richten ons op methoden om een aantal graaf-theoretische optima lisatie problemen op te lossen. Allereerst geven we een korte introducti e in lineair en integer programmeren en bespreken we enkele oplossingsme thoden die in deze thesis worden gebruikt. Het vervolg van deze thesis k an grofweg in twee delen worden opgesplitst. In het eerste deel komt het opdelen van een partial order aan bod. In het tweede deel be studeren we de structuur en de connectiviteit van het Internet. Het opsplitsen van een partial order in een zo klein mogelijk aantal cha ins is een welbekend en fundamenteel probleem in het vakgebied van opera tioneel onderzoek. Dilworth (1950) toonde aan dat het probleem polynomia al oplosbaar is en dat het minimum benodigde aantal chains gelijk is aan het aantal elementen in een maximale antichain. We generaliseren dit pr obleem door te stellen dat een chain niet meer dan een gegeven aantal el ementen mag bevatten. We stellen een aantal exacte algoritmen voor om di t probleem op te lossen en passen deze toe op een specifiek probleem bij een productiebedrijf in Nederland. Een interessant resultaat van dit on derzoek is dat we bij de probleem instanties van dit productiebedrijf ee n speciale structuur konden vaststellen, gerelateerd aan het concept van de clique-width van een graaf. Door deze structuur kunnen we aantonen d at het probleem, voor deze speciale instanties, polynomiaal oplosbaar is . Vervolgens behandelen we een tweede generalisatie van het probleem, waar bij we aan elk element van de partial order een gewicht toekennen. Het p robleem wordt dan om alle elementen op te delen in chains zod anig dat de som van de gewichten van de chains minimaal is. Hierbij word t het gewicht van een chain gedefinieerd als het gewicht van het zwaarst e element in de chain. Ook hier geldt de capaciteitsbeperking dat elke c hain ten hoogste een gegeven aantal elementen mag bevatten. We geven een aantal ondergrenzen voor de waarde van de optimale oplossing en we stel len een 2-approximatie algoritme voor. In het tweede deel van deze thesis bestuderen we de structuur en de conn ectiviteit van het Internet. Het Internet is de laatste decennia zeer po pulair geworden en de hoeveelheid data die via het Internet wordt verstu urd is enorm gegroeid. Het is zeer belangrijk dat communicatie die via I nternet verloopt efficiënt, veilig en betrouwbaar is, zeker in een tijd waarin virussen binnen enkele uren enorme computer netwerken kunnen stil leggen. Om de structuur en de connectiviteit van het Internet te bestude ren, modelleren we het Internet als een graaf. Een veel gebruikte manier om de connectiviteit van een graaf te analyseren is door het maximale a antal paden en de minimale sneden de bepalen. Het is welbekend dat deze twee problemen polynomiaal oplosbaar zijn voor gewone grafen, maar voor een Internet-graaf is dat niet het geval. Aangezien de definitie van een pad in de graaf in deze context anders is dan bij normale grafen, zijn beide problemen voor Internet-grafen NP-compleet. We stellen een aantal exacte algoritmen voor om deze problemen op te lossen en vergelijken de resultaten met de resultaten van twee 2-approximatie algoritmes voorgest eld door Erlebach et al. (2005).

On the Convergence Time of Simulated Annealing

Simulated Annealing is a family of randomized algorithms used to solve many combinatorial optimization problems. In practice they have been applied to solve some presumably hard (e.g., NP-complete) problems. The level of performance obtained has been promised [5, 2, 6, 14]. The success of its heuristic technique has motivated analysis of this algorithm from a theoretical point of view. In particularly, people have looked at the convergence of this algorithm. They have shown (see e.g., [10]) that this algorithm converges in the limit to a globally optimal solution with probability 1. However few of these convergence results specify a time limit within which the algorithm is guaranteed to converge(with some high probability, say). We present, for the first time, a simple analysis of SA that will provide a time bound for convergence with overwhelming probability. The analysis will hold no matter what annealing schedule is used. Convergence of Simulated Annealing in the limit will follow as a corollary to our time convergence proof. In this paper we also look at optimization problems for which the cost function has some special properties. We prove that for these problems the convergence is much faster. In particular, we give a simpler and more general proof of convergence for Nested Annealing, a heuristic algorithm developed in [12]. Nested Annealing is based on defining a graph corresponding to the given optimization problem. If this graph is \u27small separable\u27, they [12] show that Nested Annealing will converge \u27faster\u27. For arbitrary optimization problem, we may not have any knowledge about the \u27separability\u27 of its graph. In this paper we give tight bounds for the \u27separability\u27 of a random graph. We then use these bounds to analyze the expected behavior of Nested Annealing on an arbitrary optimization problem. The \u27separability\u27 bounds we derive in this paper are of independent interest and have the potential of finding other applications

Efficient parallel implementation of the multiplicative weight update method for graph-based linear programs

Positive linear programs (LPs) model many graph and operations research problems. One can solve for a $(1+\epsilon)$-approximation for positive LPs, for any selected $\epsilon$, in polylogarithmic depth and near-linear work via variations of the multiplicative weight update (MWU) method. Despite extensive theoretical work on these algorithms through the decades, their empirical performance is not well understood. In this work, we implement and test an efficient parallel algorithm for solving positive LP relaxations, and apply it to graph problems such as densest subgraph, bipartite matching, vertex cover and dominating set. We accelerate the algorithm via a new step size search heuristic. Our implementation uses sparse linear algebra optimization techniques such as fusion of vector operations and use of sparse format. Furthermore, we devise an implicit representation for graph incidence constraints. We demonstrate the parallel scalability with the use of threading OpenMP and MPI on the Stampede2 supercomputer. We compare this implementation with exact libraries and specialized libraries for the above problems in order to evaluate MWU's practical standing for both accuracy and performance among other methods. Our results show this implementation is faster than general purpose LP solvers (IBM CPLEX, Gurobi) in all of our experiments, and in some instances, outperforms state-of-the-art specialized parallel graph algorithms.Comment: Pre-print. 13 pages, comments welcom