Об одном обобщении квадратурной формулы Эрмита

In this paper we propose a new approach to the construction of quadrature formulas of interpolation rational type on an interval. In the introduction, a brief analysis of the results on the topic of the research is carried out. Most attention is paid to the works of mathematicians of the Belarusian school on approximation theory – Gauss, Lobatto, and Radau quadrature formulas with nodes at the zeros of the rational Chebyshev – Markov fractions. Rational fractions on the segment, generalizing the classical orthogonal Jacobi polynomials with one weight, are defined, and some of their properties are described. One of the main results of this paper consists in constructing quadrature formulas with nodes at zeros of the introduced rational fractions, calculating their coefficients in an explicit form, and estimating the remainder. This result is preceded by some auxiliary statements describing the properties of special rational functions. Classical methods of mathematical analysis, approximation theory, and the theory of functions of a complex variable are used for proof. In the conclusion a numerical analysis of the efficiency of the constructed quadrature formulas is carried out. Meanwhile, the choice of the parameters on which the nodes of the quadrature formulas depend is made in several standard ways. The obtained results can be applied for further research of rational quadrature formulas, as well as in numerical analysis.Целью данной работы является изучение нового подхода к построению квадратурных формул интерполяционно-рационального типа на отрезке. Проведен краткий анализ результатов по теме исследования, где основное внимание уделено работам математиков белорусской школы по теории аппроксимации – квадратурным формулам Гаусса, Лобатто, Радо с узлами в нулях рациональных дробей Чебышева – Маркова. Определяются рациональные дроби на отрезке, обобщающие классические ортогональные многочлены Якоби с одним весом, и описываются некоторые их свойства. Один из основных результатов работы состоит в построении квадратурных формул с узлами в нулях введенных рациональных дробей, вычислении их коэффициентов в явном виде, оценке остатка. Ему предшествуют некоторые вспомогательные утверждения, описывающие свойства специальных рациональных функций. Для доказательства используются классические методы математического анализа, теории приближений и теории функций комплексного переменного. Проводится численный анализ эффективности построенных квадратурных формул. При этом выбор параметров, от которых зависят узлы квадратурных формул, производится несколькими стандартными способами. Полученные результаты могут быть применены для дальнейшего исследования рациональных квадратурных формул, а также в численном анализе