Accelerating Computation of Eigenvectors in the Dense Nonsymmetric Eigenvalue Problem

Abstract. In the dense nonsymmetric eigenvalue problem, work has focused on the Hessenberg reduction and QR iteration, using efficient al-gorithms and fast, Level 3 BLAS. Comparatively, computation of eigen-vectors performs poorly, limited to slow, Level 2 BLAS performance with little speedup on multi-core systems. It has thus become a dominant cost in the solution of the eigenvalue problem. To address this, we present im-provements for the eigenvector computation to use Level 3 BLAS and parallelize the triangular solves, achieving good parallel scaling and ac-celerating the overall eigenvalue problem more than three-fold.

Algorithm-Based Fault Tolerance for Two-Sided Dense Matrix Factorizations

The mean time between failure (MTBF) of large supercomputers is decreasing, and future exascale computers are expected to have a MTBF of around 30 minutes. Therefore, it is urgent to prepare important algorithms for future machines with such a short MTBF. Eigenvalue problems (EVP) and singular value problems (SVP) are common in engineering and scientific research. Solving EVP and SVP numerically involves two-sided matrix factorizations: the Hessenberg reduction, the tridiagonal reduction, and the bidiagonal reduction. These three factorizations are computation intensive, and have long running times. They are prone to suffer from computer failures. We designed algorithm-based fault tolerant (ABFT) algorithms for the parallel Hessenberg reduction and the parallel tridiagonal reduction. The ABFT algorithms target fail-stop errors. These two fault tolerant algorithms use a combination of ABFT and diskless checkpointing. ABFT is used to protect frequently modified data . We carefully design the ABFT algorithm so the checksums are valid at the end of each iterative cycle. Diskless checkpointing is used for rarely modified data. These checkpoints are in the form of checksums, which are small in size, so the time and storage cost to store them in main memory is small. Also, there are intermediate results which need to be protected for a short time window. We store a copy of this data on the neighboring process in the process grid. We also designed algorithm-based fault tolerant algorithms for the CPU-GPU hybrid Hessenberg reduction algorithm and the CPU-GPU hybrid bidiagonal reduction algorithm. These two fault tolerant algorithms target silent errors. Our design employs both ABFT and diskless checkpointing to provide data redundancy. The low cost error detection uses two dot products and an equality test. The recovery protocol uses reverse computation to roll back the state of the matrix to a point where it is easy to locate and correct errors. We provided theoretical analysis and experimental verification on the correctness and efficiency of our fault tolerant algorithm design. We also provided mathematical proof on the numerical stability of the factorization results after fault recovery. Experimental results corroborate with the mathematical proof that the impact is mild

Dense and sparse parallel linear algebra algorithms on graphics processing units

Una línea de desarrollo seguida en el campo de la supercomputación es el uso de procesadores de propósito específico para acelerar determinados tipos de cálculo. En esta tesis estudiamos el uso de tarjetas gráficas como aceleradores de la computación y lo aplicamos al ámbito del álgebra lineal. En particular trabajamos con la biblioteca SLEPc para resolver problemas de cálculo de autovalores en matrices de gran dimensión, y para aplicar funciones de matrices en los cálculos de aplicaciones científicas. SLEPc es una biblioteca paralela que se basa en el estándar MPI y está desarrollada con la premisa de ser escalable, esto es, de permitir resolver problemas más grandes al aumentar las unidades de procesado. El problema lineal de autovalores, Ax = lambda x en su forma estándar, lo abordamos con el uso de técnicas iterativas, en concreto con métodos de Krylov, con los que calculamos una pequeña porción del espectro de autovalores. Este tipo de algoritmos se basa en generar un subespacio de tamaño reducido (m) en el que proyectar el problema de gran dimensión (n), siendo m << n. Una vez se ha proyectado el problema, se resuelve este mediante métodos directos, que nos proporcionan aproximaciones a los autovalores del problema inicial que queríamos resolver. Las operaciones que se utilizan en la expansión del subespacio varían en función de si los autovalores deseados están en el exterior o en el interior del espectro. En caso de buscar autovalores en el exterior del espectro, la expansión se hace mediante multiplicaciones matriz-vector. Esta operación la realizamos en la GPU, bien mediante el uso de bibliotecas o mediante la creación de funciones que aprovechan la estructura de la matriz. En caso de autovalores en el interior del espectro, la expansión requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales. En esta tesis implementamos varios algoritmos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales para el caso específico de matrices con estructura tridiagonal a bloques, que se ejecutan en GPU. En el cálculo de las funciones de matrices hemos de diferenciar entre la aplicación directa de una función sobre una matriz, f(A), y la aplicación de la acción de una función de matriz sobre un vector, f(A)b. El primer caso implica un cálculo denso que limita el tamaño del problema. El segundo permite trabajar con matrices dispersas grandes, y para resolverlo también hacemos uso de métodos de Krylov. La expansión del subespacio se hace mediante multiplicaciones matriz-vector, y hacemos uso de GPUs de la misma forma que al resolver autovalores. En este caso el problema proyectado comienza siendo de tamaño m, pero se incrementa en m en cada reinicio del método. La resolución del problema proyectado se hace aplicando una función de matriz de forma directa. Nosotros hemos implementado varios algoritmos para calcular las funciones de matrices raíz cuadrada y exponencial, en las que el uso de GPUs permite acelerar el cálculo.One line of development followed in the field of supercomputing is the use of specific purpose processors to speed up certain types of computations. In this thesis we study the use of graphics processing units as computer accelerators and apply it to the field of linear algebra. In particular, we work with the SLEPc library to solve large scale eigenvalue problems, and to apply matrix functions in scientific applications. SLEPc is a parallel library based on the MPI standard and is developed with the premise of being scalable, i.e. to allow solving larger problems by increasing the processing units. We address the linear eigenvalue problem, Ax = lambda x in its standard form, using iterative techniques, in particular with Krylov's methods, with which we calculate a small portion of the eigenvalue spectrum. This type of algorithms is based on generating a subspace of reduced size (m) in which to project the large dimension problem (n), being m << n. Once the problem has been projected, it is solved by direct methods, which provide us with approximations of the eigenvalues of the initial problem we wanted to solve. The operations used in the expansion of the subspace vary depending on whether the desired eigenvalues are from the exterior or from the interior of the spectrum. In the case of searching for exterior eigenvalues, the expansion is done by matrix-vector multiplications. We do this on the GPU, either by using libraries or by creating functions that take advantage of the structure of the matrix. In the case of eigenvalues from the interior of the spectrum, the expansion requires solving linear systems of equations. In this thesis we implemented several algorithms to solve linear systems of equations for the specific case of matrices with a block-tridiagonal structure, that are run on GPU. In the computation of matrix functions we have to distinguish between the direct application of a matrix function, f(A), and the action of a matrix function on a vector, f(A)b. The first case involves a dense computation that limits the size of the problem. The second allows us to work with large sparse matrices, and to solve it we also make use of Krylov's methods. The expansion of subspace is done by matrix-vector multiplication, and we use GPUs in the same way as when solving eigenvalues. In this case the projected problem starts being of size m, but it is increased by m on each restart of the method. The solution of the projected problem is done by directly applying a matrix function. We have implemented several algorithms to compute the square root and the exponential matrix functions, in which the use of GPUs allows us to speed up the computation.Una línia de desenvolupament seguida en el camp de la supercomputació és l'ús de processadors de propòsit específic per a accelerar determinats tipus de càlcul. En aquesta tesi estudiem l'ús de targetes gràfiques com a acceleradors de la computació i ho apliquem a l'àmbit de l'àlgebra lineal. En particular treballem amb la biblioteca SLEPc per a resoldre problemes de càlcul d'autovalors en matrius de gran dimensió, i per a aplicar funcions de matrius en els càlculs d'aplicacions científiques. SLEPc és una biblioteca paral·lela que es basa en l'estàndard MPI i està desenvolupada amb la premissa de ser escalable, açò és, de permetre resoldre problemes més grans en augmentar les unitats de processament. El problema lineal d'autovalors, Ax = lambda x en la seua forma estàndard, ho abordem amb l'ús de tècniques iteratives, en concret amb mètodes de Krylov, amb els quals calculem una xicoteta porció de l'espectre d'autovalors. Aquest tipus d'algorismes es basa a generar un subespai de grandària reduïda (m) en el qual projectar el problema de gran dimensió (n), sent m << n. Una vegada s'ha projectat el problema, es resol aquest mitjançant mètodes directes, que ens proporcionen aproximacions als autovalors del problema inicial que volíem resoldre. Les operacions que s'utilitzen en l'expansió del subespai varien en funció de si els autovalors desitjats estan en l'exterior o a l'interior de l'espectre. En cas de cercar autovalors en l'exterior de l'espectre, l'expansió es fa mitjançant multiplicacions matriu-vector. Aquesta operació la realitzem en la GPU, bé mitjançant l'ús de biblioteques o mitjançant la creació de funcions que aprofiten l'estructura de la matriu. En cas d'autovalors a l'interior de l'espectre, l'expansió requereix resoldre sistemes d'equacions lineals. En aquesta tesi implementem diversos algorismes per a la resolució de sistemes d'equacions lineals per al cas específic de matrius amb estructura tridiagonal a blocs, que s'executen en GPU. En el càlcul de les funcions de matrius hem de diferenciar entre l'aplicació directa d'una funció sobre una matriu, f(A), i l'aplicació de l'acció d'una funció de matriu sobre un vector, f(A)b. El primer cas implica un càlcul dens que limita la grandària del problema. El segon permet treballar amb matrius disperses grans, i per a resoldre-ho també fem ús de mètodes de Krylov. L'expansió del subespai es fa mitjançant multiplicacions matriu-vector, i fem ús de GPUs de la mateixa forma que en resoldre autovalors. En aquest cas el problema projectat comença sent de grandària m, però s'incrementa en m en cada reinici del mètode. La resolució del problema projectat es fa aplicant una funció de matriu de forma directa. Nosaltres hem implementat diversos algorismes per a calcular les funcions de matrius arrel quadrada i exponencial, en les quals l'ús de GPUs permet accelerar el càlcul.Lamas Daviña, A. (2018). Dense and sparse parallel linear algebra algorithms on graphics processing units [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/112425TESI

Real-Time, Dynamic Hardware Accelerators for BLAS Computation

This paper presents an approach to increasing the capability of scientific computing through the use of real-time, partially reconfigurable hardware accelerators that implement basic linear algebra subprograms (BLAS). The use of reconfigurable hardware accelerators for computing linear algebra functions has the potential to increase floating point computation while at the same time providing an architecture that minimizes data movement latency and increase power efficiency. While there has been significant work by the computing community to optimize BLAS routines at the software level, optimizing these routines in hardware using reconfigurable fabrics is in its infancy. This paper begins with a comprehensive overview of the history and evolution of BLAS for use in scientific computing. In the reviews current successes in using reconfigurable computing architectures achieve acceleration. It then presents an investigation of an accelerator approach with a granularity at the logic circuit level through real-time, partial reconfiguration of a programmable fabric with static accelerator cache memory to minimize data movement. Empirical data is presented for a study on a single-FPGA

ブロック赤黒順序付けによるPoissonソルバーの並列化とParticie-in-Cellプラズマシミュレーションへの応用

電気通信大学202