A Multi-level Blocking Distinct Degree Factorization Algorithm

We give a new algorithm for performing the distinct-degree factorization of a polynomial P(x) over GF(2), using a multi-level blocking strategy. The coarsest level of blocking replaces GCD computations by multiplications, as suggested by Pollard (1975), von zur Gathen and Shoup (1992), and others. The novelty of our approach is that a finer level of blocking replaces multiplications by squarings, which speeds up the computation in GF(2)[x]/P(x) of certain interval polynomials when P(x) is sparse. As an application we give a fast algorithm to search for all irreducible trinomials x^r + x^s + 1 of degree r over GF(2), while producing a certificate that can be checked in less time than the full search. Naive algorithms cost O(r^2) per trinomial, thus O(r^3) to search over all trinomials of given degree r. Under a plausible assumption about the distribution of factors of trinomials, the new algorithm has complexity O(r^2 (log r)^{3/2}(log log r)^{1/2}) for the search over all trinomials of degree r. Our implementation achieves a speedup of greater than a factor of 560 over the naive algorithm in the case r = 24036583 (a Mersenne exponent). Using our program, we have found two new primitive trinomials of degree 24036583 over GF(2) (the previous record degree was 6972593)

Метод синтезу моделі геоінформаційної системи на основі базових поліномів

Надано новий метод для верифікації виконання розкладання поліному певного ступеня P(x) на множники над полем Галуа GF(2). За основу прийнята модель корпорації Altera, яка застосовується в пакеті автоматизованого проектування мікросхем Quartus II (2009), аналогічну модель застосовує корпорація Xilinx та інші. Новизна нашого підходу полягає в тому, що на першому етапі застосовується часове моделювання в двох ієрархічних рівнях і передбачаються спеціальні заходи для виключення блокувань, а на прикінцевому етапі виконане натурне моделювання на реальній надсучасній мікросхемі, яка розвиває на три порядку більшу швидкість обчислення щодо певних поліномів інтервалу.We give a new method for performing the distinct-degree factorization of a polynomial P(x) over GF(2). The model of Altera Corporation was accepted for basic. The Quartus II (2009) development software provides a complete design environment for system-on-a-programmable-chip (SOPC) design. Similar model is applied by the corporation of Xilinx et al. We use a multi-level blocking strategy. The Quartus II Classic Timing Analyzer makes it possible to analyze the performance of all design logic and guides the Fitter to meet your timing goals. Timing simulation produced in 1000 times faster

A Primitive trinomial of degree 6972593

The only primitive trinomials of degree 6972593 over GF(2) are x 6972593 + x3037958 + 1 and its reciprocal

A Primitive Trinomial of Degree 6972593

International audienceno abstrac