О составных формулах для математического ожидания функционалов отрешения уравнения Ито в гильбертовом пространстве

This article is devoted to constructing composite approximate formulas for calculation of mathematical expectation of nonlinear functionals of solution of the linear Ito equation in Hilbert space with additive noise. As the leading process, the Wiener process taking values in Hilbert space is examined. The formulas are a sum of the approximations of the nonlinear functionals obtained by expanding the leading random process into a series of independent Gaussian random variables and correcting approximating functional quadrature formulas that ensure an approximate accuracy of compound formulas for third-order polynomials. As a test example, the application of the obtained formulas to the case of a one-dimensional wave equation with a leading Wiener process indexed by spatial and temporal variables is considered. This article continues the research begun in [1].The problem is motivated by the necessity to calculate the nonlinear functionals of solution of stochastic partial differential equations. Approximate evaluation of mathematical expectation of stochastic equations with a leading random process indexed only by the time variable is considered in [2–11]. Stochastic partial equations in various interpretations are considered [12–16]. The present article uses the approach given in [12].Данная работа посвящена построению составных приближенных формул для вычисления математического ожидания нелинейных функционалов от решения линейного уравнения Ито в гильбертовом пространстве с аддитивным шумом. В качестве ведущего процесса рассматривается винеровский процесс, принимающий значения в гильбертовом пространстве. Формулы представляют собой сумму аппроксимаций нелинейных функционалов, полученных разложением ведущего случайного процесса в ряд независимых гауссовских случайных величин, и корректирующих аппроксимирующих функциональных квадратурных формул, обеспечивающих точность составных формул для полиномов третьего порядка. В качестве тестового примера рассмотрено применение полученных формул к случаю одномерного по пространственной переменной волнового уравнения с ведущим винеровским процессом, индексированным пространственной и временной переменными