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Moderate-density parity-check codes from projective bundles
New constructions for moderate-density parity-check (MDPC) codes using finite geometry are proposed. We design a parity-check matrix for the main family of binary codes as the concatenation of two matrices: the incidence matrix between points and lines of the Desarguesian projective plane and the incidence matrix between points and ovals of a projective bundle. A projective bundle is a special collection of ovals which pairwise meet in a unique point. We determine the minimum distance and the dimension of these codes, and we show that they have a natural quasi-cyclic structure. We consider alternative constructions based on an incidence matrix of a Desarguesian projective plane and compare their error-correction performance with regards to a modification of Gallager’s bit-flipping decoding algorithm. In this setting, our codes have the best possible error-correction performance after one round of bit-flipping decoding given the parameters of the code’s parity-check matrix
Recommended from our members
Contemporary Coding Theory
Coding Theory naturally lies at the intersection of a large number
of disciplines in pure and applied mathematics. A multitude of
methods and means has been designed to construct, analyze, and
decode the resulting codes for communication. This has suggested to
bring together researchers in a variety of disciplines within
Mathematics, Computer Science, and Electrical Engineering, in order
to cross-fertilize generation of new ideas and force global
advancement of the field. Areas to be covered are Network Coding,
Subspace Designs, General Algebraic Coding Theory, Distributed
Storage and Private Information Retrieval (PIR), as well as
Code-Based Cryptography
Majority-Logic-Decodierung fĂĽr Euklidische-Geometrie-Codes
Diese Arbeit befasst sich mit Majority-Logic-Decodieralgorithmen für Euklidische-Geometrie-Codes. Diese Verfahren zeichnen sich dadurch aus, auf Hardwareebene in Echtzeit unter Verteilung des Rechenaufwands auf mehrere Prozessoren decodieren zu können. Das Ziel der vorliegenden Dissertation ist es, die bestehenden Majority-Logic-Decodierverfahren, insbesondere den Reed-Algorithmus, hinsichtlich der Performanz zu verbessern beziehungsweise neue, effizientere Verfahren zu entwickeln. Wir werden zwei neue Algorithmen vor-
stellen, bei denen die Anzahl der auszuführenden Mehrheitsentscheidungen signifikant reduziert ist. Einer der beiden Algorithmen basiert wie jener von Reed einzig auf Mehrheitsentscheidungen. Der andere Algorithmus verwendet zusätzlich Additionen bzw. Subtraktionen, so dass weniger Mehrheitsentscheidungen als bei den anderen beiden Algorithmen getroffen werden müssen.
Darüber hinaus haben wir eine neue Abstufung konstruiert, mit der wir unabhängig vom verwendeten Decodierverfahren mindestens die gleichen oder bessere Ergebnisse als Chen und Reed erzielen, so dass diese aus Gründen der
Performanz stets vorzuziehen ist. Die vorliegende Dissertation enthält zudem eine genaue Analyse des Aufwands
der Majority-Logic-Decodierverfahren, einschlieĂźlich des Reed-Algorithmus, angewandt auf verschiedene Codeklassen wie Hamming-Codes, Reed-Muller-Codes, Euklidische-Geometrie-Codes sowie zweifache Euklidische-Geometrie-
Codes. Darauf basierend sprechen wir Empfehlungen aus, welche Codes mit welcher Parameterwahl (bei gleichen Fehlerkorrektureigenschaften) die höchste Performanz bieten