On Sub-Propositional Fragments of Modal Logic

In this paper, we consider the well-known modal logics $\mathbf{K}$, $\mathbf{T}$, $\mathbf{K4}$, and $\mathbf{S4}$, and we study some of their sub-propositional fragments, namely the classical Horn fragment, the Krom fragment, the so-called core fragment, defined as the intersection of the Horn and the Krom fragments, plus their sub-fragments obtained by limiting the use of boxes and diamonds in clauses. We focus, first, on the relative expressive power of such languages: we introduce a suitable measure of expressive power, and we obtain a complex hierarchy that encompasses all fragments of the considered logics. Then, after observing the low expressive power, in particular, of the Horn fragments without diamonds, we study the computational complexity of their satisfiability problem, proving that, in general, it becomes polynomial

Incremental decision procedures for modal logics with nominals and eventualities

This thesis contributes to the study of incremental decision procedures for modal logics with nominals and eventualities. Eventualities are constructs that allow to reason about the reflexive-transitive closure of relations. Eventualities are an essential feature of temporal logics and propositional dynamic logic (PDL). Nominals extend modal logics with the possibility to reason about state equality. Modal logics with nominals are often called hybrid logics. Incremental procedures are procedures that can potentially solve a problem by performing only the reasoning steps needed for the problem in the underlying calculus. We begin by introducing a class of syntactic models called demos and showing how demos can be used for obtaining nonincremental but worst-case optimal decision procedures for extensions of PDL with nominals, converse and difference modalities. We show that in the absence of nominals, such nonincremental procedures can be refined into incremental demo search procedures, obtaining a worst-case optimal decision procedure for modal logic with eventualities. We then develop the first incremental decision procedure for basic hybrid logic with eventualities, which we eventually extend to deal with hybrid PDL. The approach in the thesis suggests a new principled design of modular, incremental decision procedures for expressive modal logics. In particular, it yields the first incremental procedures for modal logics containing both nominals and eventualities.Diese Dissertation untersucht inkrementelle Entscheidungsverfahren für Modallogiken mit Nominalen und Eventualities. Eventualities sind Konstrukte, die erlauben, über den reflexiv-transitiven Abschluss von Relationen zu sprechen. Sie sind ein Schlüsselmerkmal von Temporallogiken und dynamischer Aussagenlogik (PDL). Nominale erweitern Modallogik um die Möglichkeit, über Gleichheit von Zuständen zu sprechen. Modallogik mit Nominalen nennt man Hybridlogik. Inkrementell ist ein Verfahren dann, wenn es ein Problem so lösen kann, dass für die Lösung nur solche Schritte in dem zugrundeliegenden Kalkül gemacht werden, die für das Problem relevant sind. Wir führen zunächst eine Klasse syntaktischer Modelle ein, die wir Demos nennen. Wir nutzen Demos um nichtinkrementelle aber laufzeitoptimale Entscheidungsverfahren für Erweiterungen von PDL zu konstruieren. Wir zeigen, dass im Fall ohne Nominale solche Verfahren durch algorithmische Verfeinerung zu inkrementellen Verfahren ausgebaut werden können. Insbesondere erhalten wir so ein optimales Verfahren für Modallogik mit Eventualities. Anschließend entwickeln wir das erste inkrementelle Verfahren für Hybridlogik mit Eventualities, welches wir schließlich auf hybrides PDL erweitern. Die Dissertation vermittelt einen neuen Ansatz zur Konstruktion modularer, inkrementeller Entscheidungsverfahren für expressive Modallogiken. Insbesondere liefert der Ansatz die ersten inkrementellen Verfahren für Modallogiken mit Nominalen und Eventualities