Wartość Shapleya dla gier z efektami zewnętrznymi i gier na grafach

The Shapley value is one of the most important solution concepts in coalitional game theory. It was originally defined for classical model of a coalitional game, which is relevant to a wide range of economic and social situations. However, while in certain cases the simplicity is the strength of the classical coalitional game model, it often becomes a limitation. To address this problem, a number of extensions have been proposed in the literature. In this thesis, we study two important such extensions – to games with externalities and graph-restricted games. Games with externalities are a richer model of coalitional games in which the value of a coalition depends not only on its members, but also on the arrangement of other players. Unfortunately, four axioms that uniquely determine the Shapley value in classical coalitional games are not enough to imply a unique value in games with externalities. In this thesis, we study a method of strengthening the Null-Player Axiom by using alpha-parameterized definition of the marginal contribution in games with externalities. We prove that this approach yields a unique value for every alpha. Moreover, we show that this method is indeed general, in that all the values that satisfy the direct translation of Shapley’s axioms to games with externalities can be obtained using this approach. Graph-restricted games model naturally-occurring scenarios where coordination between any two players within a coalition is only possible if there is a communication channel between them. Two fundamental solution concepts that were proposed for such a game are the Shapley value and its particular extension – the Myerson value. In this thesis we develop algorithms to compute both values. Since the computation of either value involves visiting all connected induced subgraphs of the graph underlying the game, we start by developing a dedicated algorithm for this purpose and show that it is the fastest known in the literature. Then, we use it as the cornerstone upon which we build algorithms for the Shapley and Myerson values.Wartość Shapleya jest jedną z najważniejszych metod podziału w teorii gier koalicyjnych. Oryginalnie została zdefiniowana w klasycznym modelu gier koalicyjnych, który jest dobrą ilustracją wielu ekonomicznych i społecznych sytuacji. Chociaż prostota jest w wielu przypadkach siłą klasycznego modelu gier koalicyjnych, często staje się jednak też jego ograniczeniem. Aby poradzić sobie z tym problemem, kilka rozszerzeń gier koalicyjnych zostało zaproponowanych w literaturze. W tej rozprawie zajmujemy się dwoma ważnymi rozszerzeniami - do gier z efektami zewnętrznymi oraz gier ograniczonych grafem (ang. graph-restricted games). Gry z efektami zewnętrznymi są bogatszym modelem gier koalicyjnych, w którym wartość koalicji zależy nie tylko od jej członków, ale także od rozmieszczenia innych graczy. Niestety, cztery aksjomaty, które implikują wartość Shapleya w klasycznych grach koalicyjnych, nie są wystarczające, aby implikować unikalną wartość w grach z efektami zewnętrznymi. W tej rozprawie badamy metodę polegającą na wzmocnieniu Aksjomatu Gracza Zerowego (ang. Null-Player Axiom), używając alfa-parametryzowanej definicji wkładu marginalnego. Udowadniamy, że takie podejście daje unikalną wartość dla każdego alfa. Ponadto, pokazujemy że jest ono ogólne: wszystkie wartości, które spełniają bezpośrednie tłumaczenie aksjomatów Shapleya, mogą być uzyskane z użyciem tego podejścia. Gry ograniczone grafem modelują naturalnie pojawiające się sytuacje, w których koordynacja dwóch graczy w ramach koalicji jest możliwa tylko wtedy, gdy istnieje kanał komunikacji między nimi. Dwie podstawowe koncepcje podziału, które zostały zaproponowane dla takich gier to wartość Shapleya oraz jej rozszerzenie - wartość Myersona. W tej rozprawie proponujemy algorytmy do obliczania obu wartości. Ponieważ obliczenie ich opiera się na enumerowaniu wszystkich spójnych indukowanych podgrafów w grafie gry, zaczynamy od opracowania algorytmu dedykowanego do tego celu i pokazujemy, że jest szybszy niż inne algorytmy w literaturze. Potem używamy go jako podstawę algorytmów do obliczania wartości Shapleya i Myersona