A simplified proof of a fixpoint theorem for functions over stratified complete lattices

Παρουσιάζω μια απλουστευμένη και πιο άμεση απόδειξη του θεωρήματος ‘A fixed point theorem for non-monotonic functions’ ([Z. Ésik and P. Rondogiannis. Theor. Comput. Sci., 574:18–38, 2015]). Το Θεώρημα αυτό αποδεικνύει την ύπαρξη ενός ελάχιστου σταθερού σημείου (πιθανώς) μη-μονοτονικών συναρτήσεων σε ειδικά δομημένα πλήρη πλέγματα, τα οποία θα ορίσω ως στρωματοποιημένα πλήρη πλέγματα. Όταν το θεώρημα εφαρμοστεί σε μονοτονικές συναρτήσεις είναι ισοδύναμο του θεωρήματος Knaster-Tarski. Το θεώρημα έχει άμεσες εφαρμογές στην σημασιολογία της άρνησης μέσω αποτυχίας του λογικού προγραμματισμού. Για παράδειγμα με την χρήση του θα γινόταν πιο άμεση η απόδειξη της ύπαρξης ελάχιστου σταθερού σημείου στο [P. Rondogiannis and W.W. Wadge. ACM Transactions on Computational Logic, 6(2):441–467, 2005].I present a simplified and more direct proof of the fixed point theorem for non-monotonic functions ([Z. Ésik and P. Rondogiannis. Theor. Comput. Sci., 574:18–38, 2015]). This theorem proves the existence of a least fixed point of (potentially) non-monotonic functions over specially structured complete lattices, which I will define as stratified complete lattices. When the theorem is applied to monotonic functions is equivalent to Knaster-Tarski theorem. The theorem has direct applications in the semantics of negation-as-failure in logic programming. In particular, it could be used to provide a more direct proof of the least fixed point result of [P. Rondogiannis and W.W. Wadge. ACM Transactions on Computational Logic, 6(2):441–467, 2005]

An analysis of the equational properties of the well-founded fixed point

Well-founded fixed points have been used in several areas of knowledge representation and reasoning and to give semantics to logic programs involving negation. They are an important ingredient of approximation fixed point theory. We study the logical properties of the (parametric) well-founded fixed point operation. We show that the operation satisfies several, but not all of the equational properties of fixed point operations described by the axioms of iteration theories