List version of (pp,1)-total labellings

The ($p$,1)-total number $\lambda_p^T(G)$ of a graph $G$ is the width of the smallest range of integers that suffices to label the vertices and the edges of $G$ such that no two adjacent vertices have the same label, no two incident edges have the same label and the difference between the labels of a vertex and its incident edges is at least $p$. In this paper we consider the list version. Let $L(x)$ be a list of possible colors for all $x\in V(G)\cup E(G)$. Define $C_{p,1}^T(G)$ to be the smallest integer $k$ such that for every list assignment with $|L(x)|=k$ for all $x\in V(G)\cup E(G)$, $G$ has a ($p$,1)-total labelling $c$ such that $c(x)\in L(x)$ for all $x\in V(G)\cup E(G)$. We call $C_{p,1}^T(G)$ the ($p$,1)-total labelling choosability and $G$ is list $L$-($p$,1)-total labelable. In this paper, we present a conjecture on the upper bound of $C_{p,1}^T$. Furthermore, we study this parameter for paths and trees in Section 2. We also prove that $C_{p,1}^T(K_{1,n})\leq n+2p-1$ for star $K_{1,n}$ with $p\geq2, n\geq3$ in Section 3 and $C_{p,1}^T(G)\leq \Delta+2p-1$ for outerplanar graph with $\Delta\geq p+3$ in Section 4.Comment: 11 pages, 2 figure

On (d,1)-total numbers of graphs

AbstractA (d,1)-total labelling of a graph G assigns integers to the vertices and edges of G such that adjacent vertices receive distinct labels, adjacent edges receive distinct labels, and a vertex and its incident edges receive labels that differ in absolute value by at least d. The span of a (d,1)-total labelling is the maximum difference between two labels. The (d,1)-total number, denoted λdT(G), is defined to be the least span among all (d,1)-total labellings of G. We prove new upper bounds for λdT(G), compute some λdT(Km,n) for complete bipartite graphs Km,n, and completely determine all λdT(Km,n) for d=1,2,3. We also propose a conjecture on an upper bound for λdT(G) in terms of the chromatic number and the chromatic index of G

[r,s,t]-Färbung von Wegen, Kreisen und Sternen

Im Jahre 2002 führten A. Hackmann, A. Kemnitz und M. Marangio das Konzept der [r, s, t]-Färbungen als eine Verallgemeinerung der Knoten-, Kanten- und Totalfärbungen von Graphen ein. Für gegebene nicht negative Zahlen r, s und t ist eine [r, s, t]-Färbung von einem Graphen G eine Abbildung c, von V(G) und E(G) auf die Menge {1, 2,…, k}, wobei c(v) und c(w) sich um mindestens r unterscheiden, für je zwei adjazente Konten v, w ; c(e) und c(f) unterscheiden sich um mindestens s für je zwei adjazente Kanten e, f ; und c(v) und c(e) unterscheiden sich um mindestens t für je zwei inzidente Knoten v und Kanten e . Die [r, s, t]-chromatische Zahl von G ist die kleinste Zahl k, für die eine solche Färbung für G existiert. In dieser Dissertation wird die [r, s, t]-chromatische Zahl für Wege, Kreise und Sterne mit drei Blättern vollständig bestimmt. Darüber hinaus werden Schranken für Sterne mit mehr als drei Blättern und weitere Ergebnisse für bipartite und vollständige Graphen vorgestellt

Knotenfärbungen mit Abstandsbedingungen

Knotenfärbungen mit Abstandsbedingungen sind graphentheoretische Konzepte, motiviert durch das praktische Problem der Frequenzzuweisung in Mobilfunknetzen. In der Arbeit werden verschiedene Varianten solcher Färbungen vorgestellt. Für (Listen-)Färbungen mit einer beliebigen Anzahl r von Abstandsbedingungen werden allgemeine Eigenschaften und Schranken für die benötigte Anzahl von Farben bewiesen. Anschließend wird der Spezialfall r=2 behandelt. Färbungen mit zwei Abstandsbedingungen - die sogenannten L(d,s)-Labellings - werden für eine Reihe von Graphenklassen untersucht, u.a. für reguläre Parkettierungen, Weg- und Kreispotenzen und Graphen mit Durchmesser 2. Die Listenversion dieser Färbungen - die sogenannten L(d,s)-List Labellings - werden für Wege, Sterne, Kreise und Kakteen betrachtet. Ferner werden Untersuchungen zum Zusammenhang von L(2,1)-Labellings und L(2,1)-List Labellings bei speziellen Bäumen durchgeführt