Números complexos: história, estrutura algébrica e presença em vestibulares da UFPB (1965-2012)

Abstract

This final project investigates the origin, formalization, and applications of Complex Numbers, emphasizing their historical, algebraic, and pedagogical relevance. We begin by presenting their historical trajectory, from the contributions of Cardano and Bombelli to the consolidation achieved by Euler and Gauss. We then highlight the transformation of Complex Numbers into a legitimate mathematical object. We then discuss the algebraic structure of Complex Numbers, highlighting their field properties and the different forms of representation (algebraic and trigonometric). In the educational context, we conducted a documentary analysis of 87 entrance exams for the Universidade Federal da Paraíba (UFPB), applied between 1965 and 2012, of which 25 questions involving complex numbers were identified. All items were solved and commented on, allowing us to observe the evolution of the approach to the subject over these decades. We found that in the early years, the content was limited to quadratic equations, but from 1980 onward, it expanded to include algebraic operations, properties of conjugates and modules, geometric representations, and applications in progressions and higher-degree polynomials. The results indicate that Complex Numbers, although absent from the Base Nacional Comum Curricular (BNCC), constitute a landmark in the history of Mathematics, as they have been shown to have significant value, from a historical and algebraic perspective, in the teachinglearning process and in exam assessment. Thus, the study reinforces the importance of being included again in the high school curriculum and provides support material for teachers and students, combining theoretical rigor and pedagogical practice.Este trabalho investiga a origem, a formalização e as aplicações dos Números Complexos, enfatizando sua relevância histórica, algébrica e pedagógica. De início, apresentamos o trajeto histórico, desde as contribuições de Cardano e Bombelli até a consolidação alcançada por Euler e Gauss. Depois, destacamos a transformação dos complexos em objeto matemático legítimo. Em seguida, discutimos a estrutura algébrica dos Números Complexos, ao evidenciar suas propriedades de corpo e as diferentes formas de representação (algébrica e trigonométrica). No âmbito educacional, realizamos uma análise documental de 87 provas do vestibular da Universidade Federal da Paraíba (UFPB), aplicadas entre 1965 e 2012, das quais foram identificadas 25 questões envolvendo números complexos. Todos os itens foram resolvidos e comentados, o que possibilitou observar a evolução da abordagem do assunto ao longo dessas décadas. Constatamos que nos primeiros anos a presença do conteúdo se restringia a situações ligadas a equações quadráticas e que a partir de 1980 houve ampliação para operações algébricas, propriedades de conjugados e módulos, representações geométricas e aplicações em progressões e polinômios de grau superior. Os resultados apontam que os Números Complexos, embora ausentes na Base Nacional Comum Curricular (BNCC), constituem um marco na história da Matemática, pois mostraram ter, do ponto de vista histórico e algébrico, valor significativo no processo de ensino-aprendizagem e na avaliação em exames. Assim, o estudo contribui para reforçar a importância de sua reinclusão no currículo do Ensino Médio e fornece material de apoio para professores e estudantes, unindo rigor teórico e prática pedagógica