Contributions to the mathematical analysis of constrained flows

Abstract

This habilitation thesis is dedicated to the mathematical study of congestion phenomena in fluids, that is, the study of flows subjected to a maximum density constraint. This thesis provides an overview of the results - and open questions - of theoretical and numerical analysis on these congested flow models.In the first part, we focus on the "standard" Navier-Stokes equations (with constant viscosities) and barotropic compressible Euler equations, including a maximum density constraint. In one spatial dimension, we present well-posedness and asymptotic stability results in the vicinity of particular (partially congested) solutions, such as traveling wave or self-similar solutions. We also address the case of multi-dimensional equations with a numerical approach.In the second part of this manuscript, we turn our attention to mathematical models that deviate from classical Navier-Stokes equations to account for more "complex" phenomena, such as the heterogeneity of fluids. Specifically, we deal with granular suspensions and porous media, focusing on issues related to transitions between different flow regimes near the congestion constraint and, once again, on stability analysis around traveling wave profiles.Ce mémoire d'habilitation à diriger des recherches est consacré à l'étude mathématique de phénomènes de congestion dans les fluides, c'est-à-dire à l'étude d'écoulements soumis à une contrainte de densité maximale. Ce mémoire dresse un état des lieux des résultats -et questions ouvertes d'analyse d'ordre théorique et numérique sur ces modèles de flots congestionnés. Dans une première partie, nous nous intéressons aux équations "standards" de Navier-Stokes (à viscosités constantes) et d'Euler compressible barotrope, incluant une contrainte de densité maximale. En dimension un d'espace, nous présentons des résultats de caractère bien-posé et de stabilité asymptotique au voisinage de solutions particulières (de type onde progressive ou solution auto-similaire) partiellement congestionnées. Nous traitons également le cas des équations multidimensionnelles avec une approche numérique. Dans la seconde partie de ce mémoire, nous nous intéressons à des modèles mathématiques qui s'écartent des équations de Navier-Stokes classiques afin de rendre compte de phénomènes plus "complexes" liés par exemple à l'hétérogénéité des fluides. On traite plus précisément le cas de suspensions granulaires et de milieux poreux, autour notamment des questions de transitions entre différents régimes d'écoulement au voisinage de la contrainte de congestion mais également, une nouvelle fois, autour de l'analyse de stabilité autour de profils d'ondes progressives