Mathematical reasoning competency and digital tools

Abstract

I de seneste årtier er to fokusområder løbende blevet diskuteret inden for forskningen i matematikdidaktik. Det første fokusområde italesætter at mestre og lære matematik som besiddelse og udvikling af matematisk kompetence i stedet for viden og læring af matematiske fakta og færdigheder (Niss, 2016). Det andet område udforsker brugen af digitale teknologier i undervisning og læring af matematik (Artigue & Trouche, 2021). Den danske KOM-rapport skitserer otte matematiske kompetencer, der beskriver aktiviteter relateret til at udøve og håndtere matematik (Niss & Højgaard, 2019). Blandt de otte kompetencer er matematisk ræsonnementskompetence, som er omdrejningspunkt for dette studie. Ræsonnementskompetence indebærer at analysere eller producere argumenter for at begrunde matematiske påstande (Niss & Højgaard, 2019). Kompetencerne, sammen med brugen af digitale værktøjer, er en del af de danske matematiklæreplaner på både grundskole- og gymnasieniveau (Danmarks Evalueringsinstitut [EVA], 2009). Moderne digitale matematikværktøjer, såsom dynamiske geometri programmer og computer algebra systemer (CAS), integrerer i stigende grad funktionalitet fra hinanden (Freiman, 2014; Sutherland & Rojano, 2014), hvilket giver nye muligheder men også øger programmernes kompleksitet. Dette studie, rapporteret i denne afhandling, har både praktiske og teoretiske formål. Praktisk undersøges, hvordan integrationen af geometri og algebra i digitale matematikværktøjer kan støtte elevers ræsonnementsprocesser i udskolingens matematikundervisning. Studiet lægger vægt på at gøre det muligt for eleverne at udøve deres matematiske ræsonnementskompetence snarere end som sådan at udvikle elevernes kompetence. Teoretisk søger studiet at fremme bæredygtig teoretisk udvikling ved at forbinde KOM med international matematikdidaktiskforskning. Dette opnås ved at anvende et netværksperspektiv (Prediger, Bikner-Ahsbahs et al., 2008) på teoriudvikling. Projektets metodiske udgangspunkt er designbaseret forskning (Bakker, 2018; Cobb et al., 2003; Gravemeijer & Prediger, 2019; McKenney & Reeves, 2014). Det har guidet indsamling og analyse af data samt design af opgaver, der fordrer elevers udøvelse af matematiske ræsonnementskompetence i brugen af digitale teknologier med fokus på variable som et generaliseret tal. I den henseende er der udviklet og designet en ”microworld” (Hoyles, 1993) med variable punkter med tilhørende opgavesekvenser. Den er udviklet med henblik på at lade eleverne udøve matematiske ræsonnementskompetencer gennem deres undersøgelse af grundlæggende algebraiske udtryk og strukturelle implikationer i de variable punkters dynamiske egenskaber. Udover KOM anvender projektet andre teoretiske perspektiver, såsom den instrumentelle tilgang til matematikundervisning (IAME) (Guin & Trouche, 1998) og dens opfattelse af kognitive skemaer (Vergnaud, 1998b) i relation til skema-teknik-dualiteten (Drijvers et al., 2013), samt Toulmins (2003) argumentationsmodel. Disse perspektiver bruges til at analysere, beskrive og forklare empiriske data, særligt i forhold til elevernes brug af digitale værktøjer og deres matematiske ræsonnementskompetence. Afhandlingen består af seks forskningsartikler og denne tilhørende rapport, der beskriver den teoretiske baggrund, metodologi samt bidrager med yderligere analyser og resultater. Paper 1 er et litteraturstudie, der identificerer potentielle værktøjer i GeoGebra, et dynamisk geometri- og algebraprogram, til elevers ræsonnementer af variablen som et generaliseret tal. Paper 1 har informeret studiets efterfølgende designprocesser og produkter. Papers 2 til 5 analyserer empiriske data fra elever, der arbejder med forskellige opgaver, og udviklingen af et analytisk værktøj til instrumented justification. Artikel 2 introducerer den indledende teoretiske udvikling i at forbinde KOM og IAME, som genfortolkes gennem Toulmins model, hvilket fører til udviklingen af et analytisk værktøj. Artikel 3 forfiner dette værktøj, instrumented justification, og beskriver elevers ræsonnementsprocesser ved brug af digitale værktøjer. Artikel 4 fokuserer på elevers mål i brugen af digitale værktøjer i deres undersøgelser og løsning af en opgave. Opgaven videreudvikles på baggrund heraf, og opgavens potentiale og udfordringer for udøvelse af ræsonnementskompetence undersøges. Artikel 5 fokuserer på kognitive skemaer i det analytiske værktøj i analyser af Vergnauds (1998) skema-bestanddele og uddyber, hvordan elevers konceptuelle viden integreres i deres instrumenterede ræsonnementsprocesser. Artikel 6 behandler begrebet forgrunds- og baggrundsteori i et netværksperspektiv på teoriudvikling. Afhandlingen bidrager med tre designprincipper for opgavedesign, der understøtter elevers udøvelse af ræsonnementskompetence, en ”microworld” til at udforske og begrunde variable punkters dynamiske bevægelse og tilhørende opgaver. Den uddyber også ræsonnementskompetence i elevers instrumenterede ræsonnementsprocesser og skema-teknik-dualiteten og giver forslag til at understøtte disse processer i klasseværelset gennem opgavedesigns. Derudover identificerer den en hybridopfattelse mellem kontinuerlige og diskrete forståelser af variable i forudsigelsen af variable punkters bevægelsesmønstre i dynamiske geometri- og algebraprogrammer og foreslår teoretiske forbindelser mellem KOM og IAME som potentialer for yderligere teoretisk udvikling.In recent decades, among others, two areas of focus have emerged in mathematics education research. The first emphasizes mastering mathematics as competencies, proficiency, or literacy, as opposed to merely knowing mathematical facts and skills (Niss, 2016). The second area explores the use of digital technologies in teaching and learning mathematics (Artigue & Trouche, 2021). The Danish competency framework, known as the KOM-framework, outlines eight mathematical competencies that describe activities related to doing and dealing with mathematics (Niss & Højgaard, 2019). Among the eight competencies, mathematical reasoning competency, which involves analyzing or producing arguments to justify mathematical claims, is the focus of this project (Niss & Højgaard, 2019). The KOM-framework, along with the use of digital tools, is featured in the Danish mathematics curricula across primary, lower secondary, and upper secondary education (Danmarks Evalueringsinstitut [EVA] 2009). In addition, digital mathematics tools, such as dynamic geometry environments and computer algebra systems, increasingly integrate functionalities from both geometry and algebra (Freiman, 2014; Sutherland & Rojano, 2014), offering new possibilities and complexities that often surpass the understanding of laypersons. This study reported in this dissertation has both practical and theoretical aims. Practically, it investigates how the integration of digital tools in geometry and algebra can support students’ reasoning processes in lower secondary mathematics education and emphasizes enabling students to exercise their mathematical reasoning competency rather than developing the competency as such. Theoretically, the study seeks to promote sustainable theoretical development by linking the KOM-framework with international mathematics education research. This is achieved by adopting a networking perspective (Prediger, Bikner-Ahsbahs, et al., 2008) on theory development. Design research (Bakker, 2018; Cobb et al., 2003; Gravemeijer & Prediger, 2019; McKenney & Reeves, 2014). as the methodological framework for this project, guiding the collection and analysis of data, as well as the establishment of learning situations that incorporate mathematical reasoning competency, digital technologies, and the variable as a generalized number. A microworlds (Hoyles, 1993) of variable points along with task sequences were developed, aiming for students to exercise mathematical reasoning competency by investigating basic algebraic expressions and their structural implications in the dynamic behavior of variable points. In addition to the KOM-framework, the project employs other theoretical perspectives, such as the instrumental approach to mathematics education (IAME) (Guin & Trouche, 1998) and the elaborated notion of a scheme (Vergnaud, 1998b) in relation to the scheme-technique duality (Drijvers et al., 2013), and Toulmin’s (2003) argumentation model. These perspectives are used for analyzing, describing, and explaining empirical data, particularly regarding students’ use of digital tools and their mathematical reasoning competency. The dissertation comprises six research papers and an accompanying kappa that provides the theoretical background, methodology, additional analysis, and results. Paper 1 is a literature review that identifies potential tools within GeoGebra, a dynamic geometry and algebra environment, for student justifications of the variable as a generalized number, which informed the task design. Papers 2 through 5 analyze empirical data from students working with different tasks and the development of an analytical tool for instrumented justification. Paper 2 introduces the initial connection between the KOM and IAME frameworks, interpreted through Toulmin’s model, leading to the creation of an analytical tool. Paper 3 refines this tool, defines instrumented justification, and describes students’ justification processes using artifacts. Paper 4 focuses on the goal of student tool use within a task that is further developed, examining its potential and challenges for exercising reasoning competency. Paper 5 emphasizes the scheme aspect of the analytical tool, analyzing Vergnaud’s (1998) scheme components and elaborating on how students’ conceptual knowledge integrates into their instrumented justification processes. Paper 6 addresses the notion of foreground and background theory within the networking of theories perspective. The dissertation contributes three design principles for task design that support students’ exercise of reasoning competency, a microworld for exploring and justifying the dynamic behavior of variable points, and associated tasks. It also elaborates on reasoning competency in students’ instrumented justification processes and the scheme-technique duality and provides suggestions for supporting these processes in the classroom and through task design. Additionally, it identifies a hybrid conception between continuous and discrete understandings of variables in predicting variable behavior within the dynamic geometry and algebra environment and suggests theoretical links between the KOM and IAME frameworks as potentials for further theoretical networking