Predictibilidad en sistemas con retardo temporal: cuencas de atracción multiestabilidad y dinámica de atractores en espacios de dimensión infinita

Abstract

Hacer predicciones a largo plazo de los fenómenos que ocurren en la naturaleza es uno de los principales propósitos de la ciencia. Con este fin, la dinámica nace para poder modelar sucesos que ocurren en diversas áreas del conocimiento y poder determinar su comportamiento a largo plazo. Sin embargo, la mayoría de los modelos de sistemas naturales no admiten soluciones en forma de ecuaciones cerradas, por lo que es necesario emplear otras técnicas para el estudio de su evolución. A esto se le suma el problema de que muchos de estos sistemas son fuertemente dependientes de su estado inicial y que pequeños desviamientos en estas condiciones producen dinámicas completamente distintas a largo plazo. Más específicamente, los sistemas con retardo temporal, cuya evolución no depende ´unicamente del estado actual del sistema sino que depende también de su estado en tiempos anteriores, son imprescindibles para modelar fenómenos en diversas áreas de la ciencia como la biología y las telecomunicaciones en donde los tiempos de transmisión de información son similares a los tiempos de procesamiento. Estos sistemas son particularmente sensibles a incertidumbres en las condiciones iniciales debido a que su dimensión es infinita. En este trabajo exploramos el sistema de Mackey-Glass, un ejemplo paradigmático de sistema con retardo temporal que modela la producción de células y su liberación al torrente sanguíneo. Mostramos que presenta una gran diversidad de soluciones, incluyendo soluciones de equilibrio, periódicas y aperiódicas o caos al variar los parámetros del sistema. También observamos que para algunos valores de sus parámetros el sistema presenta multiestabilidad, es decir que coexisten más de una solución estable. Para poder cuantificar el impacto de la multiestabilidad en su predictibilidad empleamos distintas técnicas que van desde contar soluciones únicas, calcular el volumen de condiciones iniciales que evolucionan hacia cada atractor hasta calcular la entropía de cuencas adaptada a sistemas con retardo temporal. También calculamos los dos primeros exponentes de Lyapunov del sistema para cuantificar la predictibilidad de las soluciones aperiódicas y encontramos que existen distintas soluciones de este tipo. Además presentamos un método para reducir la dimensionalidad de cualquier sistema con retardo temporal y emplear todas estas técnicas. En este trabajo proponemos métodos para comprender los espacios de fase de los sistemas con retardo temporal y cuantificar su impacto en la predictibilidad de los mismos