Elliptic Curves

Abstract

In dieser Arbeit wird die Gruppenstruktur elliptischer Kurven über endlichen Körpern analysiert, mit besonderem Fokus auf Erweiterungskörpern. Ziel ist es, die aus den additiven und multiplikativen Eigenschaften der Kurvenpunkte entstehenden Gruppen zu charakterisieren. Konkret untersucht die Arbeit folgende Fragen: • Welche Gruppenstrukturen ergeben sich für elliptische Kurven über endlichen Körpern, insbesondere bei Körpererweiterungen? • Wiebestimmen algebraische Eigenschaften wie die Punktanzahl, Torsionsuntergruppen und die Verteilung der Punkte die Struktur der Kurve? Die Analyse kombiniert theoretische Grundlagen mit konkreten Beispielen, um die Zusam menhänge zwischen Parametern der Kurve und ihrer Gruppenbildung aufzuzeigen. Die Ergebnisse tragen zum Verständnis elliptischer Kurven in der algebraischen Geometrie und deren Anwendungen, etwa in der Kryptographie, bei.This thesis investigates the group structure of elliptic curves over finite fields, with a focus on extension fields. The goal is to understand how the additive and multiplicative properties of curve points determine the underlying group order and structure. Key research questions include: • What group structures arise from elliptic curves over finite fields, especially when considering field extensions? • How do algebraic properties—such as the number of points, torsion subgroups, and point distribution—shape the curve’s structure? By combining theoretical foundations with practical examples, this work clarifies the relationship between curve parameters and group formation. The results contribute to a deeper understanding of elliptic curves in algebraic geometry and their applications, such as in cryptography