Aplicação de transformada difeomorfa para resolução de EDPs com domínios curvilíneos

Abstract

Understanding natural phenomena often requires the application of complex mathematical models. In many cases, to accurately and comprehensively capture these phenomena, it is essential to resort to partial differential equations (PDEs), which are powerful tools in describing physical and natural processes. PDEs cover a wide variety of phenomena and have different characteristics, requiring different approaches for their resolution. However, traditional PDE solving techniques often operate under the assumption that the domain in which they are defined is rectangular. This assumption significantly simplifies the process of solving equations, facilitating the use of traditional mathematical techniques. However, such an assumption can be limiting when we deal with phenomena that occur in domains with more complex geometries, such as curvilinear domains. This study therefore focuses on solving PDEs defined in curvilinear domains, aiming to expand the possibilities of applying classical techniques. To achieve this objective, we resort to the principles of Differential Geometry. Under specific conditions, it is possible to develop a diffeomorphic transformation, which establishes a new coordinate system. This transformation allows the curvilinear domain to be represented in an equivalent way in a rectangular domain, allowing the application of classical PDE resolution techniques.A compreensão dos fenômenos naturais muitas vezes exige a aplicação de modelos matemáticos complexos. Em diversos casos, para capturar de maneira precisa e abrangente esses fenômenos, é essencial recorrer às equações diferenciais parciais (EDPs), que são ferramentas poderosas na descrição de processos físicos e naturais. As EDPs abrangem uma ampla variedade de fenômenos e possuem diferentes características, exigindo abordagens diversas para sua resolução. Contudo, as técnicas tradicionais de resolução de EDPs muitas vezes operam sob a suposição de que o domínio onde estão definidas é retangular. Essa suposição simplifica significativamente o processo de solução das equações, facilitando o uso de técnicas matemáticas tradicionais. No entanto, tal pressuposto pode ser limitante quando lidamos com fenômenos que ocorrem em domínios com geometrias mais complexas, como domínios curvilíneos. Este estudo se concentra, portanto, na resolução de EDPs definidas em domínios curvilíneos, visando expandir as possibilidades de aplicação das técnicas clássicas. Para alcançar esse objetivo, recorremos aos princípios da Geometria Diferencial. Sob condições específicas, é possível desenvolver uma transformação difeomorfa, que estabelece um novo sistema de coordenadas. Essa transformação permite que o domínio curvilíneo seja representado de forma equivalente em um domínio retangular, permitindo a aplicação das técnicas clássicas de resolução de EDPs