ÜÇ BOYUTTA SINIRLI BASİT RASTGELE YÜRÜYÜŞLERİN ÇARPMA OLASILIKLARI

Abstract

We study the constrained simple random walk in three dimensions modeling the state of a queueing system with three nodes working in parallel. The process is assumed to be stable, i.e., the service rate at each node is greater than the arrival rate. The stability assumption implies that the process follows a repeating cycle, starting anew each time the process hits the origin. Consider the probability pn that the sum of the components of the process equals n before the process hits the origin, which can be thought of as the probability of a buffer overflow in a cycle. The stability assumption implies that pn decays exponentially in n. The goal of the present thesis is to develop approximation formulas for pn. In the literature, this problem is treated for two dimensional simple walks using an affine transformation of the problem. We extend this analysis to three dimensions. As in two dimensions, the affine transformation yields a limit process and a limit hitting probability. We show, for the case of the three dimensional stable constrained simple random walk, the limit probability approximates pn with an exponentially diminishing relative error, assuming that the first component of the initial point of the process is nonzero. We further approximate the limit probability by harmonic functions of the limit process constructed from solutions of harmonic systems associated with the problem. We provide a numerical example and discuss a possible application to finance.Çalışmada, üç ağın paralel olarak çalıştığı bir kuyruk sisteminin durumunu modelleyen üç boyutlu sınırlı basit rastgele yürüyüş incelenmektedir. Sürecin dengeli olduğu varsayılmaktadır, diğer bir deyişle her ağdaki servis oranı varış oranından daha büyüktür. Dengelilik varsayımı, sürecin orijine her ulaştığında yeniden başlayarak tekrarlayan bir döngüyü takip ettiği anlamına gelmektedir. Sürecin başlangıç noktasına ulaşmadan önce bileşenlerinin toplamının n’ye eşit olma olasılığı pn olsun. Bu olasılık, bir döngüde bir arabellek aşım olasılığı olarak düşünülebilir. Sürecin dengeli olması varsayımı, pn’nin n arttıkça üssel olarak azaldığını ima etmektedir. Bu tezin amacı, pn için yaklaşık hesaplama formülleri geliştirmektir. Literatürde bu problem, problemin afin dönüşümü kullanılarak iki boyutlu basit rastgele yürüyüşler için ele alınmaktadır. Bu analiz, mevcut çalışmada üç boyuta genişletilmektedir. İki boyutta olduğu gibi, afin dönüşüm sonrasında bir limit süreci ve bir limit çarpma olasılığı elde edilmektedir. Üç boyutlu dengeli kısıtlı basit rastgele yürüyüş için, elde edilen limit olasılığının, sürecin başlangıç noktasının ilk bileşeninin sıfır olmadığı varsayılarak, üstel olarak azalan bir göreli hata ile pn’ye yaklaştığı gösterilmektedir. Ayrıca, problemle ilişkili olan harmonik sistemin çözümlerinden elde edilerek oluşturulan harmonik fonksiyonlar ile limit olasılığı yaklaşık olarak hesaplanmaktadır. Sayısal bir örnek sağlanmış ve finans sisteminde olası bir uygulamadan bahsedilmiştir.Ph.D. - Doctoral Progra